Determine o volume do sólido que se encontra abaixo do paraboloide hiperbólico z = 3y^2 - x^2 + 2e acima do retângulo
R = [-1, 1] x [-2, 2].

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar o volume de um sólido que está por baixo do paraboloide hiperbólico e acima do retângulo . Para isso, vamos usar o conceito de integração dupla, que nos permite calcular volumes sob superfícies em regiões específicas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa integrar essa função sobre a região . A integração dupla vai somar infinitas pequenas “fatias” do sólido para calcular o volume total. A fórmula geral para o volume é:
No nosso caso, , então substituímos na fórmula:

Passo 3

Agora, vamos configurar os limites de integração. O retângulo significa que varia de -1 a 1 e varia de -2 a 2. Assim, nossa integral fica:

Passo 4

Vamos integrar em relação a primeiro. Para isso, mantemos constante e integramos cada termo separadamente:
Somando esses resultados:

Passo 5

Agora, vamos integrar esse resultado em relação a de -2 a 2:
Cada termo pode ser integrado separadamente:
Somando todos os termos:

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas.

Exercícios relacionados