Determine o volume do sólido que se encontra abaixo do paraboloide hiperbólico
acima do retângulo
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar o volume de um sólido que está por baixo do paraboloide hiperbólico
e acima do retângulo
. Para isso, vamos usar o conceito de integração dupla, que nos permite calcular volumes sob superfícies em regiões específicas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa integrar essa função sobre a região
. A integração dupla vai somar infinitas pequenas “fatias” do sólido para calcular o volume total. A fórmula geral para o volume
é:
No nosso caso,
, então substituímos na fórmula:
Passo 3
Agora, vamos configurar os limites de integração. O retângulo
significa que
varia de -1 a 1 e
varia de -2 a 2. Assim, nossa integral fica:
Passo 4
Vamos integrar em relação a
primeiro. Para isso, mantemos
constante e integramos cada termo separadamente:
Somando esses resultados:
Passo 5
Agora, vamos integrar esse resultado em relação a
de -2 a 2:
Cada termo pode ser integrado separadamente:
Somando todos os termos:
Resposta
O volume do sólido é
unidades cúbicas.