integral0^2 integral0^pi / 2 x sen y d y d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem aqui uma integral dupla:
Isso está na área de Cálculo, especificamente em integrais múltiplas. Para resolver, vamos precisar integrar primeiro em relação a integral0^2 integral0^pi / 2 x sen y , dy , dx e depois em relação a .

Passo 2

Primeiro, vamos focar na parte interna da integral, que é . Aqui, é tratado como uma constante porque estamos integrando em relação a .

Passo 3

Sabemos que a integral de em relação a integral x sen y , dy = x ( -cos y ) + C é . Então, aplicando isso:
Como estamos avaliando entre e , podemos ignorar a constante .

Passo 4

Agora, vamos calcular os limites:
x ( -cos ( pi2 ) ) - x ( -cos 0 ) = x ( -0 ) - x ( -1 ) = 0 + x = x
Então, a integral interna resulta em .

Passo 5

Agora, substituímos esse resultado na integral externa:
integral0^2 x , dx
Isso agora é uma integral simples de em relação a .

Passo 6

A integral de 12 (2)^2 - 12 (0)^2 = 12 times 4 - 0 = 2 em relação a é . Então, avaliamos de a :

Resposta

O valor da integral dupla é 2.

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