Use o Teorema do Sanduíche para mostrar que: lim n +infty(1raizn^2+1+1raizn^2+2+cdots+1raizn^2+n)=1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente usar o Teorema do Sanduíche, também conhecido como Teorema da Aperto, para mostrar que o limite da soma conforme tende ao infinito é igual a 1. Vamos precisar entender como comparar essa soma com outras expressões que conhecemos para aplicar o teorema.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar cada termo da soma raizn^2 + 1 <= raizn^2 + k <= raizn^2 + n , onde varia de 1 a . Observemos que para todo nesse intervalo, . Então, podemos escrever:

Passo 3

Invertendo as desigualdades (já que tudo é positivo, a ordem se inverte):
1raizn^2 + n <= 1raizn^2 + k <= 1raizn^2 + 1

Passo 4

Agora, somamos todos os n cdot 1raizn^2 + n <= sumk=1^n 1raizn^2 + k <= n cdot 1raizn^2 + 1 termos dessa desigualdade:

Passo 5

Vamos simplificar cada parte. Observe que:
nraizn^2 + n = nnraiz1 + 1n = 1raiz1 + 1n
e
nraizn^2 + 1 = nnraiz1 + 1n^2 = 1raiz1 + 1n^2

Passo 6

Agora, vamos analisar os limites dessas duas expressões conforme limn to infty 1raiz1 + 1n = 1raiz1 + 0 = 1 tende ao infinito:
limn to infty 1raiz1 + 1n^2 = 1raiz1 + 0 = 1
e

Passo 7

Pelo Teorema do Sanduíche, já que a soma está entre duas expressões que ambas tendem a 1, o limite da soma também deve ser 1.

Resposta

1

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