Use o Teorema do Sanduíche para mostrar que:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente usar o Teorema do Sanduíche, também conhecido como Teorema da Aperto, para mostrar que o limite da soma
conforme
tende ao infinito é igual a 1. Vamos precisar entender como comparar essa soma com outras expressões que conhecemos para aplicar o teorema.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar cada termo da soma
, onde
varia de 1 a
. Observemos que para todo
nesse intervalo,
. Então, podemos escrever:
Passo 3
Invertendo as desigualdades (já que tudo é positivo, a ordem se inverte):
Passo 4
Agora, somamos todos os
termos dessa desigualdade:
Passo 5
Vamos simplificar cada parte. Observe que:
e
Passo 6
Agora, vamos analisar os limites dessas duas expressões conforme
tende ao infinito:
e
Passo 7
Pelo Teorema do Sanduíche, já que a soma está entre duas expressões que ambas tendem a 1, o limite da soma também deve ser 1.