Use o Teorema do Sanduíche para mostrar que:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para usarmos o Teorema do Sanduíche (também conhecido como Teorema da Aperta) para mostrar que o limite da soma
quando
tende ao infinito é igual a zero. Para resolver isso, vamos precisar entender como esse teorema funciona e como aplicá-lo em sequências de termos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema do Sanduíche. Ele diz que se uma sequência
está sempre entre duas outras sequências
e
(ou seja,
para todo
), e se os limites de
e
são iguais a algum número
, então o limite de
também é
.
Passo 3
No nosso caso, temos a soma
. Vamos encontrar duas expressões que “embrulhem”
para usar o Teorema do Sanduíche.
Passo 4
Observemos que cada termo da soma
(onde
varia de 1 a
) é menor ou igual a
porque
. Portanto, temos:
Passo 5
Por outro lado, cada termo
é maior ou igual a
porque
. Assim:
Passo 6
Agora, temos:
Vamos calcular os limites das duas extremidades quando
tende ao infinito.
Passo 7
Calculando o limite inferior:
E o limite superior:
Passo 8
Como os limites das duas extremidades são iguais a zero e
está “presa” entre elas, pelo Teorema do Sanduíche, concluímos que:
Resposta
O limite da soma é igual a 0.