Use o Teorema do Sanduíche para mostrar que: lim n +infty(1(n^2+1)+1(n^2+2)+cdots+1(n^2+n))=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para usarmos o Teorema do Sanduíche (também conhecido como Teorema da Aperta) para mostrar que o limite da soma quando tende ao infinito é igual a zero. Para resolver isso, vamos precisar entender como esse teorema funciona e como aplicá-lo em sequências de termos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema do Sanduíche. Ele diz que se uma sequência está sempre entre duas outras sequências e (ou seja, para todo ), e se os limites de e são iguais a algum número , então o limite de também é .

Passo 3

No nosso caso, temos a soma . Vamos encontrar duas expressões que “embrulhem” para usar o Teorema do Sanduíche.

Passo 4

Observemos que cada termo da soma Sn <= nn^2+1 (onde varia de 1 a ) é menor ou igual a porque . Portanto, temos:

Passo 5

Por outro lado, cada termo Sn >= nn^2+n é maior ou igual a porque . Assim:

Passo 6

Agora, temos:
nn^2+n <= Sn <= nn^2+1
Vamos calcular os limites das duas extremidades quando tende ao infinito.

Passo 7

Calculando o limite inferior:
limn to infty nn^2+n = limn to infty 1n + 1 = 0
E o limite superior:
limn to infty nn^2+1 = limn to infty 1n + 1n = 0

Passo 8

Como os limites das duas extremidades são iguais a zero e limn to infty Sn = 0 está “presa” entre elas, pelo Teorema do Sanduíche, concluímos que:

Resposta

O limite da soma é igual a 0.

Exercícios relacionados