Considere a função
e os nós
e
.
Encontre o polinômio quadrático
que interpola
e aproxime
.
Encontre o polinômio quadrático
Passo 1
Beleza, então o que a gente tem aqui é a função
e três pontos específicos:
,
e
. O objetivo é encontrar um polinômio quadrático (ou seja, de grau 2) que passe exatamente por esses três pontos. Depois disso, vamos usar esse polinômio para estimar o valor de
. Para isso, vamos utilizar o método de interpolação polinomial, que nos ajuda a construir um polinômio que se ajusta perfeitamente aos pontos dados.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que um polinômio quadrático geral tem a forma:
Nosso objetivo é encontrar os coeficientes
,
e
de forma que
passe pelos pontos
,
e
.
Vamos calcular os valores de
nos pontos dados:
Agora, substituímos esses valores na equação do polinômio:
Para
:
Para
:
Para
:
Agora, temos um sistema de duas equações com duas incógnitas (
e
):
Vamos resolver esse sistema. Primeiro, isolamos uma das variáveis em uma das equações. Por exemplo, na primeira equação:
E na segunda:
Em seguida, resolvemos o sistema para encontrar
e
.
Passo 3
Vamos calcular os valores de
e
usando uma calculadora:
Substituindo esses valores no sistema de equações:
Agora, vamos resolver esse sistema. Podemos multiplicar a primeira equação por 2,25 para facilitar a eliminação:
Subtraindo a segunda equação da primeira:
Agora, substituímos o valor de
na primeira equação original:
Passo 4
Agora que temos os valores de
,
e
, podemos escrever o polinômio quadrático de interpolação:
Passo 5
Com o polinômio
definido, vamos usá-lo para aproximar
:
Calculando passo a passo:
Somando tudo:
Resposta
A aproximação de
usando o polinômio quadrático de interpolação é aproximadamente 0,8982.
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Resolva cada equação diferencial linear de segunda ordem, encontrando a solução geral, usando o método que preferir.
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Encontre um polinômio
de grau no máximo 2 que satisfaça as condições:
Considere os pontos tabelados
|
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
---|---|---|---|---|---|---|---|
|
0,91 | 1,43 | 1,58 | 1,55 | 1,44 | 1,30 | 1,18 |
Obtenha uma aproximação para o valor máximo de
no intervalo
usando interpolação quadrática.