Considere a função f(x) = cos(x) e os nós x0=0, x1=0,6 e x2 = 0,9.
Encontre o polinômio quadrático n = 2 que interpola f(x) e aproxime f(0.45).

Passo 1

Beleza, então o que a gente tem aqui é a função e três pontos específicos: , e . O objetivo é encontrar um polinômio quadrático (ou seja, de grau 2) que passe exatamente por esses três pontos. Depois disso, vamos usar esse polinômio para estimar o valor de . Para isso, vamos utilizar o método de interpolação polinomial, que nos ajuda a construir um polinômio que se ajusta perfeitamente aos pontos dados.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que um polinômio quadrático geral tem a forma:
Nosso objetivo é encontrar os coeficientes , e de forma que passe pelos pontos , e .
Vamos calcular os valores de nos pontos dados:
Agora, substituímos esses valores na equação do polinômio:
Para :
Para :
Para :
Agora, temos um sistema de duas equações com duas incógnitas ( e ):
Vamos resolver esse sistema. Primeiro, isolamos uma das variáveis em uma das equações. Por exemplo, na primeira equação:
E na segunda:
Em seguida, resolvemos o sistema para encontrar e .

Passo 3

Vamos calcular os valores de e usando uma calculadora:
Substituindo esses valores no sistema de equações:
Agora, vamos resolver esse sistema. Podemos multiplicar a primeira equação por 2,25 para facilitar a eliminação:
Subtraindo a segunda equação da primeira:
Agora, substituímos o valor de na primeira equação original:

Passo 4

Agora que temos os valores de , e , podemos escrever o polinômio quadrático de interpolação:

Passo 5

Com o polinômio definido, vamos usá-lo para aproximar :
Calculando passo a passo:
Somando tudo:

Resposta

A aproximação de usando o polinômio quadrático de interpolação é aproximadamente 0,8982.

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