Resolva cada equação diferencial linear de segunda ordem, encontrando a solução geral, usando o método que preferir.
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos uma equação diferencial linear de segunda ordem:
O objetivo é encontrar a solução geral dessa equação. Para isso, vamos precisar usar conhecimentos de equações diferenciais lineares e métodos para encontrar soluções particulares quando o termo não homogêneo é uma combinação de funções exponenciais e trigonométricas.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é:
Para resolver isso, vamos encontrar as raízes da equação característica. Suponha que a solução seja da forma
. Substituindo na equação homogênea:
Dividindo por
(que nunca é zero):
Então, temos as raízes:
Passo 3
Com raízes complexas
, a solução geral da equação homogênea é:
Onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 4
Agora, precisamos encontrar uma solução particular
para a equação completa:
O lado direito
sugere que vamos usar o método de coeficientes indeterminados. Assumimos uma solução da forma:
Onde
e
são constantes que precisamos determinar.
Passo 5
Vamos calcular as derivadas de
:
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Passo 6
Substituímos
e
na equação original:
Isso deve ser igual a
, então temos:
Passo 7
Agora, igualamos os coeficientes das funções
e
:
Para
:
Para
:
Passo 8
Resolvemos o sistema de equações:
Da segunda equação:
Substituímos na primeira equação:
Então:
Passo 9
Agora temos os valores de
e
:
Portanto, a solução particular é:
Passo 10
Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a solução particular:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
e
são constantes arbitrárias.
Exercícios relacionados
Resolva cada equação diferencial linear de segunda ordem, encontrando a solução geral, usando o método que preferir.
Resolva cada equação diferencial linear de segunda ordem, encontrando a solução geral, usando o método que preferir.
Considere a função
e os nós
e
.
Encontre o polinômio quadrático que interpola
e aproxime
.
Encontre o polinômio quadrático
Encontre um polinômio
de grau no máximo 2 que satisfaça as condições: