Resolva cada equação diferencial linear de segunda ordem, encontrando a solução geral, usando o método que preferir.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos uma equação diferencial linear de segunda ordem:
O objetivo é encontrar a solução geral dessa equação. Para isso, vamos precisar usar conhecimentos de equações diferenciais lineares e métodos para encontrar soluções particulares quando o termo não homogêneo é uma combinação de funções exponenciais e trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é:
Para resolver isso, vamos encontrar as raízes da equação característica. Suponha que a solução seja da forma . Substituindo na equação homogênea:
Dividindo por (que nunca é zero):
Então, temos as raízes:

Passo 3

Com raízes complexas , a solução geral da equação homogênea é:
Onde e são constantes arbitrárias.

Passo 4

Agora, precisamos encontrar uma solução particular para a equação completa:
O lado direito sugere que vamos usar o método de coeficientes indeterminados. Assumimos uma solução da forma:
Onde e são constantes que precisamos determinar.

Passo 5

Vamos calcular as derivadas de :
Primeira derivada:
Segunda derivada:

Passo 6

Substituímos e na equação original:
Isso deve ser igual a , então temos:

Passo 7

Agora, igualamos os coeficientes das funções e :
Para :
Para :

Passo 8

Resolvemos o sistema de equações:
Da segunda equação:
Substituímos na primeira equação:
Então:

Passo 9

Agora temos os valores de e :
Portanto, a solução particular é:

Passo 10

Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a solução particular:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde e são constantes arbitrárias.

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