Resolva cada equação diferencial linear de segunda ordem, encontrando a solução geral, usando o método que preferir.
Passo 1
Beleza, então vamos resolver a equação diferencial de segunda ordem dada:
. Esse tipo de equação pertence ao assunto de equações diferenciais lineares de segunda ordem. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral que inclui a solução da equação homogênea e uma solução particular.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
. Para isso, encontramos a equação característica:
Resolvendo, temos as raízes complexas:
Passo 3
Com essas raízes, a solução geral da equação homogênea é:
Aqui,
e
são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais, se houver.
Passo 4
Agora, precisamos encontrar uma solução particular (
) para a equação completa
. Usaremos o método dos coeficientes a determinar. Observando o lado direito
, fazemos uma suposição para
:
Essa forma é escolhida porque o termo
não é solução da equação homogênea, mas multiplicado por
exige esse ajuste.
Passo 5
Vamos calcular as derivadas de
:
Passo 6
Substituímos
e suas derivadas na equação
:
Após substituir e organizar os termos, igualamos os coeficientes dos termos similares de
e
para resolver as incógnitas
.
Passo 7
Resolvendo o sistema de equações resultante, encontramos os valores de
. Após os cálculos, obtemos:
Passo 8
Com esses valores, a solução particular fica:
Passo 9
Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a solução particular:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
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Considere a função
e os nós
e
.
Encontre o polinômio quadrático que interpola
e aproxime
.
Encontre o polinômio quadrático