Resolva cada equação diferencial linear de segunda ordem, encontrando a solução geral, usando o método que preferir.

Passo 1

Beleza, então vamos resolver a equação diferencial de segunda ordem dada: . Esse tipo de equação pertence ao assunto de equações diferenciais lineares de segunda ordem. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral que inclui a solução da equação homogênea e uma solução particular.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada: . Para isso, encontramos a equação característica:
Resolvendo, temos as raízes complexas:

Passo 3

Com essas raízes, a solução geral da equação homogênea é:
Aqui, e são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais, se houver.

Passo 4

Agora, precisamos encontrar uma solução particular ( ) para a equação completa . Usaremos o método dos coeficientes a determinar. Observando o lado direito , fazemos uma suposição para :
Essa forma é escolhida porque o termo não é solução da equação homogênea, mas multiplicado por exige esse ajuste.

Passo 5

Vamos calcular as derivadas de :

Passo 6

Substituímos e suas derivadas na equação :
Após substituir e organizar os termos, igualamos os coeficientes dos termos similares de e para resolver as incógnitas .

Passo 7

Resolvendo o sistema de equações resultante, encontramos os valores de . Após os cálculos, obtemos:

Passo 8

Com esses valores, a solução particular fica:

Passo 9

Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a solução particular:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

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Considere a função e os nós e .
Encontre o polinômio quadrático que interpola e aproxime .