Considere a função f(x, y) = e^((x - 6)(y - 3)) cos(x + y - 9 - pi / 2). Encontre (via aproximação linear) um valor aproximado para f(6.01, 2.95). (2.5 pontos)

Passo 1

Vamos resumir o problema: precisamos encontrar uma aproximação linear para a função no ponto próximo a , especificamente para .
Para resolver isso, vamos usar o conceito de aproximação linear (ou tangente), que envolve calcular as derivadas parciais da função em relação a e no ponto de interesse e então usar a fórmula da aproximação linear.

Passo 2

Identificamos o ponto de expansão . Queremos aproximar .
A aproximação linear é dada por:
onde e são as derivadas parciais de em relação a e , respectivamente.

Passo 3

Primeiro, calculamos .
Substituindo:

Passo 4

Agora, calculamos as derivadas parciais e .
Primeiro, :
Avaliando em :

Passo 5

Agora, :
Avaliando em :

Passo 6

Agora, aplicamos a fórmula da aproximação linear:
Substituindo os valores:

Resposta

O valor aproximado de é aproximadamente .

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