Considere a função
f(x, y)= (x^2+y^2) cos (1x^2+y^2) & se (x, y) neq(0,0) 0 & se (x, y)=(0,0)
b) A função é contínua em (x, y)=(0,0) ? Justifique sua resposta. (1.0 ponto)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função definida de uma maneira específica. A pergunta é: essa função é contínua no ponto ? Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa continuidade e como calcular limites em duas variáveis.

Passo 2

Primeiro, lembrar o que é continuidade. Uma função é contínua em um ponto se o limite da função quando se aproxima desse ponto existe e é igual ao valor da função naquele ponto. Ou seja, precisamos verificar se:
lim(x, y) to (0,0) f(x, y) = f(0, 0)

Passo 3

Vamos calcular o limite de f(x, y) = (x^2+y^2) cos (1x^2+y^2) quando - (x^2+y^2) <= f(x, y) <= (x^2+y^2) se aproxima de . A função para é:
Sabemos que de qualquer número está sempre entre -1 e 1. Então, podemos dizer que:
Como tende a 0 quando , pelo Teorema do Sanduíche, o limite de também é 0.

Passo 4

Agora, verificamos o valor da função no ponto f(0, 0) = 0 :
Como o limite quando é igual ao valor da função nesse ponto, a função é contínua em .

Resposta

Sim, a função é contínua em porque o limite quando se aproxima de é igual ao valor da função nesse ponto.

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