Seja o sistema
.
(a) Mostre que
e
são soluções do sistema.
(a) Mostre que
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício nos dá um sistema de equações diferenciais da forma
, onde
é uma matriz que depende de
. A nossa missão é mostrar que duas funções vetoriais específicas,
e
, são realmente soluções desse sistema. Para isso, vamos precisar conhecer um pouco sobre sistemas de equações diferenciais lineares e como verificar se uma função é solução desse sistema, ou seja, se ela satisfaz a equação dada.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa
. Aqui,
representa a derivada de
em relação a
, e
é uma matriz que multiplica o vetor
. Para uma função
ser solução desse sistema, ela precisa satisfazer essa igualdade para todo
.
Passo 3
Vamos começar verificando a primeira função
. Primeiro, vamos calcular a derivada de
em relação a
.
A derivada de
é
, então:
Passo 4
Agora, vamos calcular
. A matriz
é:
Multiplicando pela
:
Simplificando cada componente:
Primeira componente:
Segunda componente:
Portanto:
Passo 5
Comparando
e
:
Isso confirma que
é de fato uma solução do sistema.
Passo 6
Agora, vamos verificar a segunda função
. Primeiramente, calculamos a derivada de
em relação a
.
A derivada de
é
, então:
Passo 7
Vamos calcular
:
Simplificando cada componente:
Primeira componente:
Segunda componente:
Portanto:
Passo 8
Comparando
e
:
Isso confirma que
também é uma solução do sistema.
Resposta
As funções
e
são soluções do sistema dado.