Seja o sistema .
(a) Mostre que e são soluções do sistema.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos dá um sistema de equações diferenciais da forma , onde é uma matriz que depende de . A nossa missão é mostrar que duas funções vetoriais específicas, e , são realmente soluções desse sistema. Para isso, vamos precisar conhecer um pouco sobre sistemas de equações diferenciais lineares e como verificar se uma função é solução desse sistema, ou seja, se ela satisfaz a equação dada.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa . Aqui, representa a derivada de em relação a , e é uma matriz que multiplica o vetor . Para uma função ser solução desse sistema, ela precisa satisfazer essa igualdade para todo .

Passo 3

Vamos começar verificando a primeira função . Primeiro, vamos calcular a derivada de em relação a .
A derivada de é , então:

Passo 4

Agora, vamos calcular . A matriz é:
Multiplicando pela :
Simplificando cada componente:
Primeira componente:
Segunda componente:
Portanto:

Passo 5

Comparando e :
Isso confirma que é de fato uma solução do sistema.

Passo 6

Agora, vamos verificar a segunda função . Primeiramente, calculamos a derivada de em relação a .
A derivada de é , então:

Passo 7

Vamos calcular :
Simplificando cada componente:
Primeira componente:
Segunda componente:
Portanto:

Passo 8

Comparando e :
Isso confirma que também é uma solução do sistema.

Resposta

As funções e são soluções do sistema dado.

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