Considere a função
f(x, y)= (x^2+y^2) cos (1x^2+y^2) & se (x, y) neq(0,0) 0 & se (x, y)=(0,0)
a) A função é contínua em (x, y) neq(0,0) ? Justifique sua resposta. ( 0.5 ponto)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente vai analisar se a função é contínua em todos os pontos que não sejam . A matéria aqui envolve noções de continuidade de funções de duas variáveis. Para resolver isso, a gente precisa entender o que significa uma função ser contínua nesse contexto.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a definição da função:
f(x, y)= (x^2+y^2) cos (1x^2+y^2) & se (x, y) neq (0,0) 0 & se (x, y) = (0,0)
Como queremos saber sobre continuidade em , vamos focar nessa parte da função: .

Passo 3

Agora, vamos lembrar que funções polinomiais como e são contínuas em todo lugar. Além disso, a função cosseno ( ) também é contínua para todo o seu domínio real.

Passo 4

A gente também sabe que o produto de funções contínuas é contínuo. Ou seja, se você tem duas funções contínuas e , então também é contínuo.

Passo 5

No caso da nossa função, temos:
  • que é contínua.
  • também é contínua porque o cosseno é contínuo e o argumento é contínuo para .

Passo 6

Portanto, o produto é uma função contínua em todo ponto onde .

Resposta

Sim, a função é contínua em todos os pontos onde .

Exercícios relacionados