Considere a função e intervalo inicial [ 0,1 . Refine a raiz utilizando o método da bisseção e utilizando o método da posição falsa. Preencha a tabela a seguir (apenas com os resultados obtidos na última iteração):
Método da bisseção Método da posição falsa
Intervalo inicial
Intervalo final
Raiz aproximada
Módulo da imagem da raiz aproximada
Módulo da diferença do extremos do intervalo
№ de iterações
Tabela 1: Comparação entre métodos numéricos

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você quer encontrar uma raiz da função no intervalo inicial usando dois métodos numéricos: o método da bisseção e o método da posição falsa. A gente vai refinar essa raiz com uma precisão de . Para isso, vamos precisar entender como cada método funciona e aplicá-los passo a passo até atingir a precisão desejada.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o método da bisseção. Esse método é bem intuitivo: a gente começa com um intervalo onde a função muda de sinal (ou seja, e têm sinais opostos), o que garante que tem pelo menos uma raiz nesse intervalo. A cada passo, dividimos o intervalo ao meio e escolhemos o subintervalo onde a função ainda muda de sinal. Repetimos esse processo até que o tamanho do intervalo seja menor que .
Vamos aplicar isso à nossa função com intervalo inicial :
  1. Intervalo Inicial:
  2. Cálculo de e :
  3. Como e têm sinais opostos, sabemos que há pelo menos uma raiz nesse intervalo.

Passo 3

Agora, vamos começar as iterações do método da bisseção:
  • Iteração 1:
    • Como é positivo e é negativo, a raiz está em
  • Iteração 2:
    • Como é negativo e é positivo, a raiz está em
  • Iteração 3:
    • A raiz está em
  • Iteração 4:
    • A raiz está em
  • Iteração 5:
    • A raiz está em
Agora, o tamanho do intervalo é , que é menor que ? Não, ainda precisamos de mais uma iteração.
  • Iteração 6:
    • A raiz está em
Agora, o tamanho do intervalo é , que ainda não é menor que .
  • Iteração 7:
    • A raiz está em
Agora, o tamanho do intervalo é , que é menor que . Então, paramos aqui.

Passo 4

Agora, vamos entender o método da posição falsa. Esse método também busca uma raiz em um intervalo onde a função muda de sinal, mas ao invés de simplesmente dividir o intervalo ao meio, ele usa uma linha reta para estimar a posição da raiz. A ideia é melhorar a convergência em relação ao método da bisseção.
Vamos aplicar esse método à nossa função com intervalo inicial :
  1. Intervalo Inicial:
  2. Cálculo de e :
  3. Como e têm sinais opostos, continuamos.

Passo 5

Vamos começar as iterações do método da posição falsa:
  • Iteração 1:
    • Calculamos usando a fórmula: Substituindo:
    • Como é negativo e é positivo, a raiz está em
  • Iteração 2:
    • Calculamos novamente:
    • Como é negativo e é positivo, a raiz está em
  • Iteração 3:
    • Calculamos :
    • Como é quase zero, já alcançamos a precisão desejada.

Resposta

Método da bisseção Método da posição falsa
Intervalo inicial [0, 1] [0, 1]
Intervalo final [0.4453125, 0.453125] [0.446, 0.450]
Raiz aproximada 0.4453125 0.450
Módulo da imagem da raiz aproximada ( f(0.4453125) \approx 0.012175) ( f(0.450) \approx 0.0004)
Módulo da diferença do extremos do intervalo
№ de iterações 7 3

Exercícios relacionados

Isole o(s) zero(s) de cada função abaixo:
c) .
Mude os seguintes números da base 2 para a base 10 :
b)
Mude os seguintes números da base 2 para a base 10 :
d)
Refine a raiz em cada caso abaixo utilizando o método da bisseção:
b) onde e