Considere a função
e intervalo inicial [ 0,1
. Refine a raiz utilizando o método da bisseção e utilizando o método da posição falsa. Preencha a tabela a seguir (apenas com os resultados obtidos na última iteração):
Método da bisseção | Método da posição falsa | |
---|---|---|
Intervalo inicial | ||
Intervalo final | ||
Raiz aproximada | ||
Módulo da imagem da raiz aproximada | ||
Módulo da diferença do extremos do intervalo | ||
№ de iterações |
Tabela 1: Comparação entre métodos numéricos
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você quer encontrar uma raiz da função
no intervalo inicial
usando dois métodos numéricos: o método da bisseção e o método da posição falsa. A gente vai refinar essa raiz com uma precisão de
. Para isso, vamos precisar entender como cada método funciona e aplicá-los passo a passo até atingir a precisão desejada.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o método da bisseção. Esse método é bem intuitivo: a gente começa com um intervalo onde a função muda de sinal (ou seja,
e
têm sinais opostos), o que garante que tem pelo menos uma raiz nesse intervalo. A cada passo, dividimos o intervalo ao meio e escolhemos o subintervalo onde a função ainda muda de sinal. Repetimos esse processo até que o tamanho do intervalo seja menor que
.
Vamos aplicar isso à nossa função
com intervalo inicial
:
- Intervalo Inicial:
- Cálculo de
e : -
- Como
e têm sinais opostos, sabemos que há pelo menos uma raiz nesse intervalo.
Passo 3
Agora, vamos começar as iterações do método da bisseção:
-
Iteração 1:
-
-
- Como
é positivo e é negativo, a raiz está em
-
-
Iteração 2:
-
-
- Como
é negativo e é positivo, a raiz está em
-
-
Iteração 3:
-
-
- A raiz está em
-
-
Iteração 4:
-
-
- A raiz está em
-
-
Iteração 5:
-
-
- A raiz está em
-
Agora, o tamanho do intervalo é
, que é menor que
? Não, ainda precisamos de mais uma iteração.
- Iteração 6:
-
-
- A raiz está em
-
Agora, o tamanho do intervalo é
, que ainda não é menor que
.
- Iteração 7:
-
-
- A raiz está em
-
Agora, o tamanho do intervalo é
, que é menor que
. Então, paramos aqui.
Passo 4
Agora, vamos entender o método da posição falsa. Esse método também busca uma raiz em um intervalo onde a função muda de sinal, mas ao invés de simplesmente dividir o intervalo ao meio, ele usa uma linha reta para estimar a posição da raiz. A ideia é melhorar a convergência em relação ao método da bisseção.
Vamos aplicar esse método à nossa função
com intervalo inicial
:
- Intervalo Inicial:
- Cálculo de
e : -
- Como
e têm sinais opostos, continuamos.
Passo 5
Vamos começar as iterações do método da posição falsa:
-
Iteração 1:
- Calculamos
usando a fórmula: Substituindo: -
- Como
é negativo e é positivo, a raiz está em
- Calculamos
-
Iteração 2:
- Calculamos
novamente: -
- Como
é negativo e é positivo, a raiz está em
- Calculamos
-
Iteração 3:
- Calculamos
: -
- Como
é quase zero, já alcançamos a precisão desejada.
- Calculamos
Resposta
Método da bisseção | Método da posição falsa | |||||
---|---|---|---|---|---|---|
Intervalo inicial | [0, 1] | [0, 1] | ||||
Intervalo final | [0.4453125, 0.453125] | [0.446, 0.450] | ||||
Raiz aproximada | 0.4453125 | 0.450 | ||||
Módulo da imagem da raiz aproximada | ( | f(0.4453125) | \approx 0.012175) | ( | f(0.450) | \approx 0.0004) |
Módulo da diferença do extremos do intervalo |
|
|
||||
№ de iterações | 7 | 3 |
Exercícios relacionados
Isole o(s) zero(s) de cada função abaixo:
c) .
c)
Mude os seguintes números da base 2 para a base 10 :
b)
b)
Mude os seguintes números da base 2 para a base 10 :
d)
d)
Refine a raiz em cada caso abaixo utilizando o método da bisseção:
b) onde
e
b)