Refine a raiz em cada caso abaixo utilizando o método da bisseção:
b) g(x) = x^3 - 9x + 3 onde I = [0, 1] e epsilon = 10^(-3)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar uma raiz da função no intervalo usando o método da bisseção. O método da bisseção é uma técnica bem bacana para encontrar raízes de funções contínuas, dividindo o intervalo pela metade repetidamente até chegar na precisão que a gente quer, que nesse caso é .

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se realmente existe uma raiz no intervalo . Para isso, a gente checa os valores de nas extremidades do intervalo:
Como é positivo e é negativo, a função muda de sinal no intervalo . Segundo o Teorema de Bolzano, isso garante que existe pelo menos uma raiz nesse intervalo.

Passo 3

Agora, vamos começar a aplicar o método da bisseção. Vamos dividir o intervalo , que inicialmente é , em dois pedaços iguais e ver em qual metade a raiz está.
Calculando o ponto médio :
Vamos calcular :
Como é negativo e é positivo, a raiz está no intervalo . Então, atualizamos .

Passo 4

Repetimos o processo com o novo intervalo .
Calculando o ponto médio :
Calculando :
Agora, é positivo. Como e têm sinais opostos, a raiz está no intervalo . Atualizamos .

Passo 5

Vamos novamente dividir o intervalo .
Calculando o ponto médio :
Calculando :
Como é negativo e é positivo, a raiz está no intervalo . Atualizamos .

Passo 6

Continuando com o intervalo .
Calculando o ponto médio :
Calculando :
Como é positivo e é negativo, a raiz está no intervalo . Atualizamos .

Passo 7

Agora, com o intervalo .
Calculando o ponto médio :
Calculando :
Como é negativo e é positivo, a raiz está no intervalo . Atualizamos .

Passo 8

Vamos mais uma vez dividir o novo intervalo .
Calculando o ponto médio :
Calculando :
Como é positivo e é negativo, a raiz está no intervalo . Atualizamos .

Passo 9

Dividindo o intervalo .
Calculando o ponto médio :
Calculando :
Como é positivo e é negativo, a raiz está no intervalo . Atualizamos .

Passo 10

Agora, com o intervalo .
Calculando o ponto médio :
Calculando :
Como é negativo e é positivo, a raiz está no intervalo . Atualizamos .

Passo 11

Dividindo o intervalo .
Calculando o ponto médio :
Calculando :
Como é negativo e é positivo, a raiz está no intervalo . Atualizamos .

Passo 12

Agora, com o intervalo .
Calculando o ponto médio :
Calculando :
Como é positivo e é negativo, a raiz está no intervalo . Atualizamos .

Resposta

Depois de várias divisões do intervalo usando o método da bisseção, a raiz da função no intervalo com precisão está aproximadamente em:

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