Refine a raiz em cada caso abaixo utilizando o método da bisseção:
b)
onde
e
b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar uma raiz da função
no intervalo
usando o método da bisseção. O método da bisseção é uma técnica bem bacana para encontrar raízes de funções contínuas, dividindo o intervalo pela metade repetidamente até chegar na precisão que a gente quer, que nesse caso é
.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se realmente existe uma raiz no intervalo
. Para isso, a gente checa os valores de
nas extremidades do intervalo:
Como
é positivo e
é negativo, a função muda de sinal no intervalo
. Segundo o Teorema de Bolzano, isso garante que existe pelo menos uma raiz nesse intervalo.
Passo 3
Agora, vamos começar a aplicar o método da bisseção. Vamos dividir o intervalo
, que inicialmente é
, em dois pedaços iguais e ver em qual metade a raiz está.
Calculando o ponto médio
:
Vamos calcular
:
Como
é negativo e
é positivo, a raiz está no intervalo
. Então, atualizamos
.
Passo 4
Repetimos o processo com o novo intervalo
.
Calculando o ponto médio
:
Calculando
:
Agora,
é positivo. Como
e
têm sinais opostos, a raiz está no intervalo
. Atualizamos
.
Passo 5
Vamos novamente dividir o intervalo
.
Calculando o ponto médio
:
Calculando
:
Como
é negativo e
é positivo, a raiz está no intervalo
. Atualizamos
.
Passo 6
Continuando com o intervalo
.
Calculando o ponto médio
:
Calculando
:
Como
é positivo e
é negativo, a raiz está no intervalo
. Atualizamos
.
Passo 7
Agora, com o intervalo
.
Calculando o ponto médio
:
Calculando
:
Como
é negativo e
é positivo, a raiz está no intervalo
. Atualizamos
.
Passo 8
Vamos mais uma vez dividir o novo intervalo
.
Calculando o ponto médio
:
Calculando
:
Como
é positivo e
é negativo, a raiz está no intervalo
. Atualizamos
.
Passo 9
Dividindo o intervalo
.
Calculando o ponto médio
:
Calculando
:
Como
é positivo e
é negativo, a raiz está no intervalo
. Atualizamos
.
Passo 10
Agora, com o intervalo
.
Calculando o ponto médio
:
Calculando
:
Como
é negativo e
é positivo, a raiz está no intervalo
. Atualizamos
.
Passo 11
Dividindo o intervalo
.
Calculando o ponto médio
:
Calculando
:
Como
é negativo e
é positivo, a raiz está no intervalo
. Atualizamos
.
Passo 12
Agora, com o intervalo
.
Calculando o ponto médio
:
Calculando
:
Como
é positivo e
é negativo, a raiz está no intervalo
. Atualizamos
.
Resposta
Depois de várias divisões do intervalo usando o método da bisseção, a raiz da função
no intervalo
com precisão
está aproximadamente em:
Exercícios relacionados
Mude os seguintes números da base 2 para a base 10 :
d)
d)
Considere a função
e intervalo inicial [ 0,1
. Refine a raiz utilizando o método da bisseção e utilizando o método da posição falsa. Preencha a tabela a seguir (apenas com os resultados obtidos na última iteração):
Método da bisseção | Método da posição falsa | |
---|---|---|
Intervalo inicial | ||
Intervalo final | ||
Raiz aproximada | ||
Módulo da imagem da raiz aproximada | ||
Módulo da diferença do extremos do intervalo | ||
№ de iterações |
Tabela 1: Comparação entre métodos numéricos
Refine a raiz em cada caso abaixo utilizando o método da posição falsa:
b) onde
e
b)
Refine a raiz em cada caso abaixo utilizando o método da posição falsa:
a) onde
e
a)