Isole o(s) zero(s) de cada função abaixo:
c) h(x) = x log(x) - 1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para isolar o(s) zero(s) da função . Isso significa que precisamos encontrar os valores de que fazem . Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de funções logarítmicas e métodos de resolução de equações transcendentes.

Passo 2

Primeiro, vamos igualar a função a zero:
Isso nos leva a:
Agora, queremos encontrar o valor de que satisfaz essa equação. Como a equação envolve dentro e fora do logaritmo, não conseguimos isolar de forma direta. Portanto, precisamos usar métodos numéricos ou a função W de Lambert para resolver.

Passo 3

Vamos optar por um método numérico simples, como o método da iteração. A ideia é rearranjar a equação para expressar em função de si mesmo e então usar aproximações para chegar perto da solução.
Da equação , podemos isolar :
Agora, escolhemos um valor inicial para e vamos iterar até encontrar uma aproximação razoável.
Vamos começar com :
Agora, usamos esse valor para encontrar o próximo:
Percebemos que os valores estão oscilando. Isso indica que precisamos de um método mais eficiente, como o método de Newton-Raphson.

Passo 4

O método de Newton-Raphson é uma técnica iterativa para encontrar raízes de funções. A fórmula é:
Para nossa função , a derivada é:
Vamos escolher um valor inicial próximo, digamos , e aplicar a fórmula:
  1. Primeira iteração ( ):
  1. Segunda iteração ( ):
  1. Terceira iteração ( ):
Como os valores estão se aproximando, podemos parar aqui para uma boa aproximação.

Resposta

A solução aproximada para é .

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