Isole o(s) zero(s) de cada função abaixo:
c)
.
c)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para isolar o(s) zero(s) da função
. Isso significa que precisamos encontrar os valores de
que fazem
. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de funções logarítmicas e métodos de resolução de equações transcendentes.
Passo 2
Primeiro, vamos igualar a função a zero:
Isso nos leva a:
Agora, queremos encontrar o valor de
que satisfaz essa equação. Como a equação envolve
dentro e fora do logaritmo, não conseguimos isolar
de forma direta. Portanto, precisamos usar métodos numéricos ou a função W de Lambert para resolver.
Passo 3
Vamos optar por um método numérico simples, como o método da iteração. A ideia é rearranjar a equação para expressar
em função de si mesmo e então usar aproximações para chegar perto da solução.
Da equação
, podemos isolar
:
Agora, escolhemos um valor inicial para
e vamos iterar até encontrar uma aproximação razoável.
Vamos começar com
:
Agora, usamos esse valor para encontrar o próximo:
Percebemos que os valores estão oscilando. Isso indica que precisamos de um método mais eficiente, como o método de Newton-Raphson.
Passo 4
O método de Newton-Raphson é uma técnica iterativa para encontrar raízes de funções. A fórmula é:
Para nossa função
, a derivada é:
Vamos escolher um valor inicial próximo, digamos
, e aplicar a fórmula:
- Primeira iteração (
):
- Segunda iteração (
):
- Terceira iteração (
):
Como os valores estão se aproximando, podemos parar aqui para uma boa aproximação.
Resposta
A solução aproximada para
é
.
Exercícios relacionados
Mude os seguintes números da base 2 para a base 10 :
b)
b)
Refine a raiz em cada caso abaixo utilizando o método da bisseção:
a) onde
e
a)
Considere a função
e intervalo inicial [ 0,1
. Refine a raiz utilizando o método da bisseção e utilizando o método da posição falsa. Preencha a tabela a seguir (apenas com os resultados obtidos na última iteração):
Método da bisseção | Método da posição falsa | |
---|---|---|
Intervalo inicial | ||
Intervalo final | ||
Raiz aproximada | ||
Módulo da imagem da raiz aproximada | ||
Módulo da diferença do extremos do intervalo | ||
№ de iterações |
Tabela 1: Comparação entre métodos numéricos
Mude os seguintes números da base 2 para a base 10 :
d)
d)