Considere a função f(x, y)=e^y cos (x). Verifique que partial^2 fpartial x^2+partial^2 fpartial y^2=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é a função e o que a gente precisa fazer é verificar se a soma das segundas derivadas parciais dessa função em relação a e é igual a zero. Isso está dentro do conteúdo de Cálculo Diferencial, especificamente trabalhando com derivadas parciais. Para resolver isso, vamos precisar lembrar como calcular derivadas parciais de funções que envolvem exponenciais e funções trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a segunda derivada parcial de partial fpartial x = partialpartial x ( e^y cos(x) ) = -e^y sin(x) em relação a partial^2 fpartial x^2 = partialpartial x ( -e^y sin(x) ) = -e^y cos(x) , ou seja, .
Começamos encontrando a primeira derivada parcial em relação a :
Agora, derivamos novamente em relação a :

Passo 3

Agora, vamos calcular a segunda derivada parcial de partial fpartial y = partialpartial y ( e^y cos(x) ) = e^y cos(x) em relação a partial^2 fpartial y^2 = partialpartial y ( e^y cos(x) ) = e^y cos(x) , ou seja, .
Primeiro, encontramos a primeira derivada parcial em relação a :
Agora, derivamos novamente em relação a :

Passo 4

Agora, vamos somar as duas segundas derivadas que calculamos:
partial^2 fpartial x^2 + partial^2 fpartial y^2 = -e^y cos(x) + e^y cos(x) = 0
Isso mostra que a soma das segundas derivadas parciais é realmente zero.

Resposta

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