Considere a função
. Verifique que
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é a função
e o que a gente precisa fazer é verificar se a soma das segundas derivadas parciais dessa função em relação a
e
é igual a zero. Isso está dentro do conteúdo de Cálculo Diferencial, especificamente trabalhando com derivadas parciais. Para resolver isso, vamos precisar lembrar como calcular derivadas parciais de funções que envolvem exponenciais e funções trigonométricas.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a segunda derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
.
Começamos encontrando a primeira derivada parcial em relação a
:
Agora, derivamos novamente em relação a
:
Passo 3
Agora, vamos calcular a segunda derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
.
Primeiro, encontramos a primeira derivada parcial em relação a
:
Agora, derivamos novamente em relação a
:
Passo 4
Agora, vamos somar as duas segundas derivadas que calculamos:
Isso mostra que a soma das segundas derivadas parciais é realmente zero.
Resposta
Exercícios relacionados
A temperatura em uma placa de metal depende das coordenadas
e
, conforme
. Uma partícula se movimenta sobre a placa de forma que
e
. Determine a taxa de variação da temperatura com relação ao tempo no ponto
.
Calcule a derivada parcial das funções a seguir:
Dada a função
. Verifique se o ponto
é ponto crítico da função. Mostre ainda que
não admite ponto de mínimo só de máximo.
Sobre uma montanha, a elevação
acima de um ponto
um plano
ao nível do mar é dada por
metros. Considerando-se que o eixo
positivo aponta para o leste e que o eixo
positivo aponta para o norte e que o escalador está no ponto de coordenadas
, responda:
Qual a taxa máxima de elevação?
Qual a taxa máxima de elevação?