Considere a função . Verifique que

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é a função e o que a gente precisa fazer é verificar se a soma das segundas derivadas parciais dessa função em relação a e é igual a zero. Isso está dentro do conteúdo de Cálculo Diferencial, especificamente trabalhando com derivadas parciais. Para resolver isso, vamos precisar lembrar como calcular derivadas parciais de funções que envolvem exponenciais e funções trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a segunda derivada parcial de em relação a , ou seja, .
Começamos encontrando a primeira derivada parcial em relação a :
Agora, derivamos novamente em relação a :

Passo 3

Agora, vamos calcular a segunda derivada parcial de em relação a , ou seja, .
Primeiro, encontramos a primeira derivada parcial em relação a :
Agora, derivamos novamente em relação a :

Passo 4

Agora, vamos somar as duas segundas derivadas que calculamos:
Isso mostra que a soma das segundas derivadas parciais é realmente zero.

Resposta

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A temperatura em uma placa de metal depende das coordenadas e , conforme . Uma partícula se movimenta sobre a placa de forma que e . Determine a taxa de variação da temperatura com relação ao tempo no ponto .
Calcule a derivada parcial das funções a seguir:
Dada a função . Verifique se o ponto é ponto crítico da função. Mostre ainda que não admite ponto de mínimo só de máximo.
Sobre uma montanha, a elevação acima de um ponto um plano ao nível do mar é dada por metros. Considerando-se que o eixo positivo aponta para o leste e que o eixo positivo aponta para o norte e que o escalador está no ponto de coordenadas , responda:
Qual a taxa máxima de elevação?