Dada a função . Verifique se o ponto é ponto crítico da função. Mostre ainda que não admite ponto de mínimo só de máximo.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre a função . A gente vai verificar se o ponto é um ponto crítico dessa função. Além disso, vamos mostrar que a função não tem ponto de mínimo nem de máximo, apenas pontos de sela. Para isso, vamos usar conceitos de derivadas parciais e o teste da segunda derivada.

Passo 2

Primeiro, pra encontrar os pontos críticos da função, precisamos calcular as derivadas parciais de em relação a e a , e depois igualar elas a zero. Pontos críticos são onde as derivadas parciais se anulam.
A derivada parcial de em relação a é:
E a derivada parcial em relação a é:

Passo 3

Agora, vamos avaliar essas derivadas no ponto :
Como e , que não são iguais a zero, o ponto não é um ponto crítico da função .

Passo 4

Já que o ponto não é um ponto crítico, ele não pode ser um ponto de mínimo ou máximo. Mas para reforçar, vamos analisar a função de maneira geral para ver como os extremos se comportam.

Passo 5

A função é um polinômio quadrático, e para identificar se há pontos de mínimo ou máximo, usamos a Matriz Hessiana, que é formada pelas segundas derivadas parciais.
Calculando as segundas derivadas:
A Matriz Hessiana é então:

Passo 6

Para determinar a natureza dos pontos críticos, calculamos o determinante da Hessiana:
Como e , isso indica que qualquer ponto crítico seria um ponto de máximo local. No entanto, já vimos que não é um ponto crítico.

Passo 7

Além disso, como os coeficientes das e são negativos, isso sugere que a função tende para quando e aumentam ou diminuem indefinidamente, confirmando que não há pontos de mínimo.

Resposta

O ponto não é um ponto crítico da função . Além disso, a função não admite pontos de mínimo ou máximo, apenas pontos de sela.

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