Dada a função
. Verifique se o ponto
é ponto crítico da função. Mostre ainda que
não admite ponto de mínimo só de máximo.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre a função
. A gente vai verificar se o ponto
é um ponto crítico dessa função. Além disso, vamos mostrar que a função
não tem ponto de mínimo nem de máximo, apenas pontos de sela. Para isso, vamos usar conceitos de derivadas parciais e o teste da segunda derivada.
Passo 2
Primeiro, pra encontrar os pontos críticos da função, precisamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e a
, e depois igualar elas a zero. Pontos críticos são onde as derivadas parciais se anulam.
A derivada parcial de
em relação a
é:
E a derivada parcial em relação a
é:
Passo 3
Agora, vamos avaliar essas derivadas no ponto
:
Como
e
, que não são iguais a zero, o ponto
não é um ponto crítico da função
.
Passo 4
Já que o ponto
não é um ponto crítico, ele não pode ser um ponto de mínimo ou máximo. Mas para reforçar, vamos analisar a função
de maneira geral para ver como os extremos se comportam.
Passo 5
A função
é um polinômio quadrático, e para identificar se há pontos de mínimo ou máximo, usamos a Matriz Hessiana, que é formada pelas segundas derivadas parciais.
Calculando as segundas derivadas:
A Matriz Hessiana é então:
Passo 6
Para determinar a natureza dos pontos críticos, calculamos o determinante da Hessiana:
Como
e
, isso indica que qualquer ponto crítico seria um ponto de máximo local. No entanto, já vimos que
não é um ponto crítico.
Passo 7
Além disso, como os coeficientes das
e
são negativos, isso sugere que a função tende para
quando
e
aumentam ou diminuem indefinidamente, confirmando que não há pontos de mínimo.
Resposta
O ponto
não é um ponto crítico da função
. Além disso, a função
não admite pontos de mínimo ou máximo, apenas pontos de sela.
Exercícios relacionados
Considere a função
. Verifique que
A temperatura em uma placa de metal depende das coordenadas
e
, conforme
. Uma partícula se movimenta sobre a placa de forma que
e
. Determine a taxa de variação da temperatura com relação ao tempo no ponto
.
Sobre uma montanha, a elevação
acima de um ponto
um plano
ao nível do mar é dada por
metros. Considerando-se que o eixo
positivo aponta para o leste e que o eixo
positivo aponta para o norte e que o escalador está no ponto de coordenadas
, responda:
Qual a taxa máxima de elevação?
Qual a taxa máxima de elevação?
Seja a função
. Determine e esboce o domínio da função e calcule
. Determine também a sua imagem.