A temperatura em uma placa de metal depende das coordenadas e , conforme . Uma partícula se movimenta sobre a placa de forma que e . Determine a taxa de variação da temperatura com relação ao tempo no ponto .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre taxa de variação da temperatura em uma placa de metal. A gente vai precisar usar cálculo diferencial, especificamente a regra da cadeia, pra descobrir como a temperatura muda com o tempo quando a partícula se move nas direções e .
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a taxa de variação da temperatura em relação ao tempo, , pode ser encontrada usando a regra da cadeia. Isso significa que vamos derivar em relação a e , e depois multiplicar pelas taxas de variação de e em relação ao tempo. A fórmula fica assim:
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas parciais de em relação a e . Dada a função , temos:
e
Passo 4
Vamos substituir os valores das derivadas parciais e as taxas de variação dadas no problema. As taxas são cm/s e cm/s. Além disso, o ponto considerado é , então e .
Calculando as derivadas parciais no ponto:
Passo 5
Agora, substituímos tudo na fórmula da taxa de variação:
Simplificando:
Resposta
A taxa de variação da temperatura com relação ao tempo no ponto é °C/s.