A temperatura em uma placa de metal depende das coordenadas x e y, conforme T(x, y) = y^2 ln(x), x ≥ 1. Uma partícula se movimenta sobre a placa de forma que d/dt x = 1 cm/s e d y/d t = 4 cm/s. Determine a taxa de variação da temperatura com relação ao tempo no ponto (3,2).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre taxa de variação da temperatura em uma placa de metal. A gente vai precisar usar cálculo diferencial, especificamente a regra da cadeia, pra descobrir como a temperatura muda com o tempo quando a partícula se move nas direções x e y.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a taxa de variação da temperatura em relação ao tempo, , pode ser encontrada usando a regra da cadeia. Isso significa que vamos derivar T em relação a x e y, e depois multiplicar pelas taxas de variação de x e y em relação ao tempo. A fórmula fica assim:

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas parciais de T em relação a x e y. Dada a função , temos:
e

Passo 4

Vamos substituir os valores das derivadas parciais e as taxas de variação dadas no problema. As taxas são cm/s e cm/s. Além disso, o ponto considerado é (3,2), então e .
Calculando as derivadas parciais no ponto:

Passo 5

Agora, substituímos tudo na fórmula da taxa de variação:
Simplificando:

Resposta

A taxa de variação da temperatura com relação ao tempo no ponto (3,2) é °C/s.

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