Sobre uma montanha, a elevação z acima de um ponto (x, y) um plano x y ao nível do mar é dada por z = 2000 - 2 x^2 - 4 y^2 metros. Considerando-se que o eixo x positivo aponta para o leste e que o eixo y positivo aponta para o norte e que o escalador está no ponto de coordenadas -20, 5, 1100, responda:
Qual a taxa máxima de elevação?

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A gente tem uma equação que descreve a elevação de uma montanha em relação a um ponto no plano . O conteúdo envolvido aqui é cálculo multivariável, especificamente o conceito de gradiente, que nos ajuda a encontrar a direção e a taxa de maior variação da função. Para resolver, vamos precisar calcular o gradiente da função de elevação e depois avaliar esse gradiente no ponto onde o escalador está.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a função que descreve a elevação:
O gradiente de uma função é um vetor que aponta na direção de maior aumento da função e sua magnitude representa a taxa máxima de variação. Calculamos o gradiente calculando as derivadas parciais de em relação a e .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais:
Então, o gradiente é:

Passo 4

Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto onde o escalador está, que tem as coordenadas :
Portanto, o gradiente no ponto é:

Passo 5

A taxa máxima de elevação é dada pela magnitude do vetor gradiente. Calculamos a magnitude usando a fórmula:

Resposta

A taxa máxima de elevação é aproximadamente 89,44 metros por unidade de distância.

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