Sobre uma montanha, a elevação acima de um ponto um plano ao nível do mar é dada por metros. Considerando-se que o eixo positivo aponta para o leste e que o eixo positivo aponta para o norte e que o escalador está no ponto de coordenadas , responda:
Qual a taxa máxima de elevação?
Passo 1
Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A gente tem uma equação que descreve a elevação de uma montanha em relação a um ponto no plano . O conteúdo envolvido aqui é cálculo multivariável, especificamente o conceito de gradiente, que nos ajuda a encontrar a direção e a taxa de maior variação da função. Para resolver, vamos precisar calcular o gradiente da função de elevação e depois avaliar esse gradiente no ponto onde o escalador está.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a função que descreve a elevação:
O gradiente de uma função é um vetor que aponta na direção de maior aumento da função e sua magnitude representa a taxa máxima de variação. Calculamos o gradiente calculando as derivadas parciais de em relação a e .
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais:
Então, o gradiente é:
Passo 4
Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto onde o escalador está, que tem as coordenadas :
Portanto, o gradiente no ponto é:
Passo 5
A taxa máxima de elevação é dada pela magnitude do vetor gradiente. Calculamos a magnitude usando a fórmula:
Resposta
A taxa máxima de elevação é aproximadamente 89,44 metros por unidade de distância.