Considere a função de custo , onde representa a quantidade produzida. Encontre a quantidade que minimiza o custo.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função de custo, que é basicamente quanto custa para produzir uma certa quantidade de produtos. A função é , onde é a quantidade produzida. Nosso objetivo aqui é encontrar o valor de que faz o custo ser o menor possível. Para isso, vamos usar técnicas de cálculo, especificamente derivadas, que nos ajudam a encontrar mínimos e máximos de funções.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que queremos minimizar a função de custo . Para isso, precisamos encontrar o ponto onde a derivada da função é igual a zero. A derivada nos dá a taxa de variação da função, e quando essa taxa é zero, significa que estamos em um ponto onde a função pode ter um mínimo ou um máximo.

Passo 3

Vamos calcular a derivada de em relação a . A função é . A derivada de é , a derivada de é , e a derivada de é . Então, a derivada fica:

Passo 4

Agora, vamos igualar a derivada a zero para encontrar o ponto crítico:

Passo 5

Resolvendo a equação para :

Passo 6

No entanto, estamos falando de quantidade produzida, e quantidade negativa não faz sentido no contexto. Isso indica que, dentro dos valores possíveis de (ou seja, ), o mínimo ocorre quando .

Resposta

A quantidade que minimiza o custo é unidades.

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(f) .