Considere a função de custo
, onde
representa a quantidade produzida. Encontre a quantidade
que minimiza o custo.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função de custo, que é basicamente quanto custa para produzir uma certa quantidade de produtos. A função é
, onde
é a quantidade produzida. Nosso objetivo aqui é encontrar o valor de
que faz o custo ser o menor possível. Para isso, vamos usar técnicas de cálculo, especificamente derivadas, que nos ajudam a encontrar mínimos e máximos de funções.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que queremos minimizar a função de custo
. Para isso, precisamos encontrar o ponto onde a derivada da função é igual a zero. A derivada nos dá a taxa de variação da função, e quando essa taxa é zero, significa que estamos em um ponto onde a função pode ter um mínimo ou um máximo.
Passo 3
Vamos calcular a derivada de
em relação a
. A função é
. A derivada de
é
, a derivada de
é
, e a derivada de
é
. Então, a derivada
fica:
Passo 4
Agora, vamos igualar a derivada a zero para encontrar o ponto crítico:
Passo 5
Resolvendo a equação para
:
Passo 6
No entanto, estamos falando de quantidade produzida, e quantidade negativa não faz sentido no contexto. Isso indica que, dentro dos valores possíveis de
(ou seja,
), o mínimo ocorre quando
.
Resposta
A quantidade que minimiza o custo é
unidades.
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Determine os domínios e as imagens de
:
(b)
(b)
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:
(a)
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Calcule os limites
(b)
(b)
Calcule os limites
(f) .
(f)