Determine os domínios e as imagens de :
(a)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o domínio e a imagem da função . Isso faz parte do conteúdo de funções matemáticas, mais especificamente trabalhando com funções que envolvem raízes quadradas. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é domínio e imagem de uma função e como determiná-los.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os valores de para os quais a função está definida, ou seja, onde a expressão matemática faz sentido e não gera problemas, como divisões por zero ou raízes de números negativos.
No caso da nossa função , temos uma raiz quadrada. Sabemos que a raiz quadrada de um número só está definida se o número dentro da raiz for maior ou igual a zero. Então, precisamos garantir que:

Passo 3

Agora, vamos resolver a inequação para encontrar os valores de que satisfazem essa condição:
Isso significa que qualquer valor de que seja igual ou maior que 1 fará com que a expressão dentro da raiz quadrada seja não negativa, garantindo que a função esteja definida.

Passo 4

Com isso, podemos concluir que o domínio da função é todos os números reais maiores ou iguais a 1. Em notação matemática:

Passo 5

Agora, vamos determinar a imagem da função, que é o conjunto de todos os possíveis valores de saída de , ou seja, os valores que pode assumir quando varia dentro do domínio.
Sabemos que a raiz quadrada sempre retorna valores maiores ou iguais a zero. Então, para nossa função:
Além disso, conforme aumenta, também aumenta, fazendo com que aumente sem limites superiores.

Passo 6

Portanto, a imagem da função é todos os números reais maiores ou iguais a zero. Em notação matemática:

Resposta

  • Domínio de :
  • Imagem de :

Exercícios relacionados

Considere as funções e definidas por:
(d) Verifique se é igual a para algum valor de .
Verifique se a função é contínua em .
Determine os domínios e as imagens de :
(b)
Considere a função de custo , onde representa a quantidade produzida. Encontre a quantidade que minimiza o custo.