Determine os domínios e as imagens de
:
(b)
(b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício onde precisamos encontrar o domínio e a imagem da função
. Vamos usar conceitos de funções racionais, que são frações onde o numerador e o denominador são polinômios. Para isso, precisamos entender onde a função é válida (domínio) e quais valores ela pode assumir (imagem).
Passo 2
Primeiro, vamos determinar o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os valores de
para os quais a função está definida. Como temos uma fração, precisamos garantir que o denominador não seja zero (porque dividir por zero não é possível).
Passo 3
Vamos encontrar onde o denominador é diferente de zero:
Resolvendo essa inequação:
Então, o único valor que precisamos excluir do domínio é
.
Passo 4
Portanto, o domínio da função
é todos os números reais exceto
. Em notação matemática:
Passo 5
Agora, vamos encontrar a imagem da função, ou seja, todos os possíveis valores de
quando
varia no domínio. Para isso, podemos resolver a equação
para
em termos de
.
Passo 6
Rearranjando a equação para resolver
:
Essa expressão para
está definida para todos os
onde
, ou seja,
.
Passo 7
Isso significa que a função
pode assumir qualquer valor real exceto
. Logo, a imagem da função é todos os números reais menos
.
Resposta
- Domínio:
- Imagem:
Exercícios relacionados
Determine os domínios e as imagens de
:
(a)
(a)
Considere as funções
e
definidas por:
(d) Verifique se
é igual a
para algum valor de
.
Considere a função de custo
, onde
representa a quantidade produzida. Encontre a quantidade
que minimiza o custo.
Calcule os limites
(b)
(b)