Considere a função f: R^2 -> R, dada por f(x, y) = x^2 + 2xy + y^2
Calcule a derivada direcional de f no ponto 1,1, na direção v = (6, 8).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é calcular a derivada direcional da função no ponto , na direção do vetor . Para isso, a gente vai usar conceitos de cálculo vetorial, como gradiente e vetores unitários.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a derivada direcional. É uma forma de medir como a função muda em uma direção específica a partir de um ponto dado. Para calcular isso, precisamos do gradiente da função e da direção no formato de um vetor unitário.

Passo 3

Vamos começar encontrando o gradiente da função . O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais de em relação a cada variável. Então, temos:
Calculando as derivadas parciais:
Portanto,

Passo 4

Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto :
Então, o gradiente no ponto é .

Passo 5

Em seguida, precisamos transformar o vetor direção em um vetor unitário. Um vetor unitário tem comprimento 1 e mantém a mesma direção.
O comprimento do vetor é dado por:
Então, o vetor unitário na direção de é:

Passo 6

Agora, a derivada direcional é o produto escalar do gradiente no ponto com o vetor unitário :
Calculando o produto escalar:

Resposta

A derivada direcional de no ponto na direção de é 5,6.

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