Considere a função
, dada por
Calcule a derivada direcional de
no ponto
, na direção
.
Calcule a derivada direcional de
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é calcular a derivada direcional da função
no ponto
, na direção do vetor
. Para isso, a gente vai usar conceitos de cálculo vetorial, como gradiente e vetores unitários.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a derivada direcional. É uma forma de medir como a função
muda em uma direção específica a partir de um ponto dado. Para calcular isso, precisamos do gradiente da função
e da direção no formato de um vetor unitário.
Passo 3
Vamos começar encontrando o gradiente da função
. O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais de
em relação a cada variável. Então, temos:
Calculando as derivadas parciais:
Portanto,
Passo 4
Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto
:
Então, o gradiente no ponto é
.
Passo 5
Em seguida, precisamos transformar o vetor direção
em um vetor unitário. Um vetor unitário tem comprimento 1 e mantém a mesma direção.
O comprimento do vetor
é dado por:
Então, o vetor unitário na direção de
é:
Passo 6
Agora, a derivada direcional
é o produto escalar do gradiente no ponto
com o vetor unitário
:
Calculando o produto escalar:
Resposta
A derivada direcional de
no ponto
na direção de
é 5,6.
Exercícios relacionados
Para as funções abaixo, faça o que se pede:
Observação: você pode usar as técnicas de desigualdade vistas em sala, sem o uso da teoria do cálculo.
Ache o ponto de máximo e o valor máximo de dada por
sobre a restrição
.
Observação: você pode usar as técnicas de desigualdade vistas em sala, sem o uso da teoria do cálculo.
Ache o ponto de máximo e o valor máximo de
Explique por que o Teste da Integral não pode ser usado para determinar se a série é convergente.
Utilizando Multiplicadores de Lagrange encontre os pontos de máximo/mínimo das funções a seguir:
dada por
sujeita a restrição
.
O potencial elétrico
é modelado pela função
. Responda as questões a seguir
Encontre a taxa de variação do potencial elétrico no ponto
na direção
Encontre a taxa de variação do potencial elétrico