Considere a função
, dada por
Calcule a derivada direcional de
no ponto
, na direção
.
Calcule a derivada direcional de
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é calcular a derivada direcional da função
no ponto
, na direção do vetor
. Para isso, a gente vai usar conceitos de cálculo vetorial, como gradiente e vetores unitários.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a derivada direcional. É uma forma de medir como a função
muda em uma direção específica a partir de um ponto dado. Para calcular isso, precisamos do gradiente da função
e da direção no formato de um vetor unitário.
Passo 3
Vamos começar encontrando o gradiente da função
. O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais de
em relação a cada variável. Então, temos:
Calculando as derivadas parciais:
Portanto,
Passo 4
Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto
:
Então, o gradiente no ponto é
.
Passo 5
Em seguida, precisamos transformar o vetor direção
em um vetor unitário. Um vetor unitário tem comprimento 1 e mantém a mesma direção.
O comprimento do vetor
é dado por:
Então, o vetor unitário na direção de
é:
Passo 6
Agora, a derivada direcional
é o produto escalar do gradiente no ponto
com o vetor unitário
:
Calculando o produto escalar:
Resposta
A derivada direcional de
no ponto
na direção de
é 5,6.