Utilizando Multiplicadores de Lagrange encontre os pontos de máximo/mínimo das funções a seguir:
dada por
sujeita a restrição
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os pontos de máximo e mínimo da função
, mas com uma condição:
. Isso é um problema de otimização com restrição, e para isso a gente vai usar Multiplicadores de Lagrange.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são Multiplicadores de Lagrange. É uma técnica que nos ajuda a encontrar os pontos onde uma função atinge seus valores máximos ou mínimos, considerando uma ou mais restrições. No nosso caso, a restrição é
, que representa a equação de um círculo com raio 2.
Passo 3
A ideia é criar uma nova função chamada Função de Lagrange, que combina a função que queremos otimizar com a restrição. A função de Lagrange é dada por:
onde
e
. Então, substituindo:
Passo 4
Agora, para encontrar os pontos de máximo e mínimo, vamos calcular as derivadas parciais da função de Lagrange em relação a
,
e
, e igualá-las a zero:
Passo 5
Vamos calcular cada derivada:
- Derivada em relação a
:
Isso nos dá duas possibilidades:
ou
.
- Derivada em relação a
:
- Derivada em relação a
:
Passo 6
Vamos analisar as possibilidades:
-
Caso
: - A restrição fica
. - Usando
: - Se
: - Se
:
- Se
- A restrição fica
-
Caso
: - Da equação
, temos . - Substituindo na restrição
.
- Da equação
Passo 7
Agora, vamos reunir os pontos encontrados:
-
Quando
: -
-
Quando
: -
Passo 8
Finalmente, temos que avaliar qual desses pontos são máximos ou mínimos. Mas como a função é quadrática em
e linear em
, podemos observar que:
- Ponto
: Máximo, pois aumenta o valor de . - Pontos
e : Mínimos ou pontos de sela, dependendo do contexto, mas no nosso caso específico, focamos nos extr extremos principais.
Resposta
Os pontos de máximo e mínimo da função
sujeitos à restrição
são:
- Máximo em
- Mínimos em
e