Utilizando Multiplicadores de Lagrange encontre os pontos de máximo/mínimo das funções a seguir:
f: R^2 -> R dada por f(x, y) = x^2 + 2y sujeita a restrição x^2 + y^2 = 4.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os pontos de máximo e mínimo da função , mas com uma condição: . Isso é um problema de otimização com restrição, e para isso a gente vai usar Multiplicadores de Lagrange.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são Multiplicadores de Lagrange. É uma técnica que nos ajuda a encontrar os pontos onde uma função atinge seus valores máximos ou mínimos, considerando uma ou mais restrições. No nosso caso, a restrição é , que representa a equação de um círculo com raio 2.

Passo 3

A ideia é criar uma nova função chamada Função de Lagrange, que combina a função que queremos otimizar com a restrição. A função de Lagrange é dada por:
onde e . Então, substituindo:

Passo 4

Agora, para encontrar os pontos de máximo e mínimo, vamos calcular as derivadas parciais da função de Lagrange em relação a , e , e igualá-las a zero:

Passo 5

Vamos calcular cada derivada:
  1. Derivada em relação a :
Isso nos dá duas possibilidades: ou .
  1. Derivada em relação a :
  1. Derivada em relação a :

Passo 6

Vamos analisar as possibilidades:
  1. Caso :
    • A restrição fica .
    • Usando :
      • Se :
      • Se :
  2. Caso :
    • Da equação , temos .
    • Substituindo na restrição .

Passo 7

Agora, vamos reunir os pontos encontrados:
  • Quando :
  • Quando :

Passo 8

Finalmente, temos que avaliar qual desses pontos são máximos ou mínimos. Mas como a função é quadrática em e linear em , podemos observar que:
  • Ponto : Máximo, pois aumenta o valor de .
  • Pontos e : Mínimos ou pontos de sela, dependendo do contexto, mas no nosso caso específico, focamos nos extr extremos principais.

Resposta

Os pontos de máximo e mínimo da função sujeitos à restrição são:
  • Máximo em
  • Mínimos em e

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