Utilizando Multiplicadores de Lagrange encontre os pontos de máximo/mínimo das funções a seguir:
dada por sujeita a restrição .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os pontos de máximo e mínimo da função , mas com uma condição: . Isso é um problema de otimização com restrição, e para isso a gente vai usar Multiplicadores de Lagrange.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são Multiplicadores de Lagrange. É uma técnica que nos ajuda a encontrar os pontos onde uma função atinge seus valores máximos ou mínimos, considerando uma ou mais restrições. No nosso caso, a restrição é , que representa a equação de um círculo com raio 2.

Passo 3

A ideia é criar uma nova função chamada Função de Lagrange, que combina a função que queremos otimizar com a restrição. A função de Lagrange é dada por:
onde e . Então, substituindo:

Passo 4

Agora, para encontrar os pontos de máximo e mínimo, vamos calcular as derivadas parciais da função de Lagrange em relação a , e , e igualá-las a zero:

Passo 5

Vamos calcular cada derivada:
  1. Derivada em relação a :
Isso nos dá duas possibilidades: ou .
  1. Derivada em relação a :
  1. Derivada em relação a :

Passo 6

Vamos analisar as possibilidades:
  1. Caso :
    • A restrição fica .
    • Usando :
      • Se :
      • Se :
  2. Caso :
    • Da equação , temos .
    • Substituindo na restrição .

Passo 7

Agora, vamos reunir os pontos encontrados:
  • Quando :
  • Quando :

Passo 8

Finalmente, temos que avaliar qual desses pontos são máximos ou mínimos. Mas como a função é quadrática em e linear em , podemos observar que:
  • Ponto : Máximo, pois aumenta o valor de .
  • Pontos e : Mínimos ou pontos de sela, dependendo do contexto, mas no nosso caso específico, focamos nos extr extremos principais.

Resposta

Os pontos de máximo e mínimo da função sujeitos à restrição são:
  • Máximo em
  • Mínimos em e

Exercícios relacionados

Considere a função , dada por
Calcule a derivada direcional de no ponto , na direção .
Para as funções abaixo, faça o que se pede:
Observação: você pode usar as técnicas de desigualdade vistas em sala, sem o uso da teoria do cálculo.
Ache o ponto de máximo e o valor máximo de dada por sobre a restrição .
O potencial elétrico é modelado pela função . Responda as questões a seguir
Encontre a taxa de variação do potencial elétrico no ponto na direção
Para as funções abaixo, faça o que se pede:
Observação: você pode usar as técnicas de desigualdade vistas em sala, sem o uso da teoria do cálculo.
Ache o ponto de mínimo e o valor mínimo de dada por sujeita a restrição , com .