O potencial elétrico V é modelado pela função V(x, y) = e^(-x) * sen(x + 2y). Responda as questões a seguir
Encontre a taxa de variação do potencial elétrico V no ponto (0, pi/2) na direção v = (cos(pi/4), -sen(pi/4))

Passo 1

Beleza, então o enunciado nos diz que o potencial elétrico é dado por . A matéria envolvida aqui é cálculo vetorial, especificamente a derivada direcional. A gente vai precisar calcular a derivada direcional de no ponto na direção do vetor .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a derivada direcional. Ela nos dá a taxa de variação da função na direção de um vetor específico. Para calcular isso, precisamos do gradiente de e de um vetor unitário na direção de .

Passo 3

Vamos calcular o vetor gradiente de , que é composto pelas derivadas parciais de em relação a e .

Passo 4

Calculando a derivada parcial em relação a :
Simplificando:

Passo 5

Agora, a derivada parcial em relação a :

Passo 6

Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto .
Primeiro, substituímos e :
Então, o gradiente no ponto é:

Passo 7

Agora, vamos normalizar o vetor .
Primeiro, calculamos o módulo de :
Então, o vetor unitário na direção de é o próprio :

Passo 8

Finalmente, a derivada direcional é o produto escalar do gradiente de com o vetor unitário :
Sabemos que , então:

Resposta

A taxa de variação do potencial elétrico no ponto na direção é .

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