O potencial elétrico é modelado pela função . Responda as questões a seguir
Encontre a taxa de variação do potencial elétrico no ponto na direção

Passo 1

Beleza, então o enunciado nos diz que o potencial elétrico é dado por . A matéria envolvida aqui é cálculo vetorial, especificamente a derivada direcional. A gente vai precisar calcular a derivada direcional de no ponto na direção do vetor .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a derivada direcional. Ela nos dá a taxa de variação da função na direção de um vetor específico. Para calcular isso, precisamos do gradiente de e de um vetor unitário na direção de .

Passo 3

Vamos calcular o vetor gradiente de , que é composto pelas derivadas parciais de em relação a e .

Passo 4

Calculando a derivada parcial em relação a :
Simplificando:

Passo 5

Agora, a derivada parcial em relação a :

Passo 6

Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto .
Primeiro, substituímos e :
Então, o gradiente no ponto é:

Passo 7

Agora, vamos normalizar o vetor .
Primeiro, calculamos o módulo de :
Então, o vetor unitário na direção de é o próprio :

Passo 8

Finalmente, a derivada direcional é o produto escalar do gradiente de com o vetor unitário :
Sabemos que , então:

Resposta

A taxa de variação do potencial elétrico no ponto na direção é .

Exercícios relacionados

Utilizando Multiplicadores de Lagrange encontre os pontos de máximo/mínimo das funções a seguir:
dada por sujeita a restrição .
Considere a função , dada por
Calcule a derivada direcional de no ponto , na direção .
Para as funções abaixo, faça o que se pede:
Observação: você pode usar as técnicas de desigualdade vistas em sala, sem o uso da teoria do cálculo.
Ache o ponto de mínimo e o valor mínimo de dada por sujeita a restrição , com .
O potencial elétrico é modelado pela função . Responda as questões a seguir
Calcule o valor máximo da derivada direcional no ponto .