O potencial elétrico é modelado pela função . Responda as questões a seguir
Encontre a taxa de variação do potencial elétrico no ponto na direção
Passo 1
Beleza, então o enunciado nos diz que o potencial elétrico é dado por . A matéria envolvida aqui é cálculo vetorial, especificamente a derivada direcional. A gente vai precisar calcular a derivada direcional de no ponto na direção do vetor .
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a derivada direcional. Ela nos dá a taxa de variação da função na direção de um vetor específico. Para calcular isso, precisamos do gradiente de e de um vetor unitário na direção de .
Passo 3
Vamos calcular o vetor gradiente de , que é composto pelas derivadas parciais de em relação a e .
Passo 4
Calculando a derivada parcial em relação a :
Simplificando:
Passo 5
Agora, a derivada parcial em relação a :
Passo 6
Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto .
Primeiro, substituímos e :
Então, o gradiente no ponto é:
Passo 7
Agora, vamos normalizar o vetor .
Primeiro, calculamos o módulo de :
Então, o vetor unitário na direção de é o próprio :
Passo 8
Finalmente, a derivada direcional é o produto escalar do gradiente de com o vetor unitário :
Sabemos que , então:
Resposta
A taxa de variação do potencial elétrico no ponto na direção é .