Para as funções abaixo, faça o que se pede:
Observação: você pode usar as técnicas de desigualdade vistas em sala, sem o uso da teoria do cálculo.
Ache o ponto de máximo e o valor máximo de
dada por
sobre a restrição
.
Observação: você pode usar as técnicas de desigualdade vistas em sala, sem o uso da teoria do cálculo.
Ache o ponto de máximo e o valor máximo de
Passo 1
Vamos primeiro entender o que a questão está pedindo. Temos a função
e uma condição que restringe os valores de
,
e
:
com
. O objetivo é encontrar o ponto onde essa função atinge seu valor máximo e qual é esse valor máximo. Para resolver isso, vamos usar técnicas de desigualdade, especificamente a Desigualdade de AM-GM (Média Aritmética e Média Geométrica), que nos ajuda a encontrar máximos e mínimos de funções sob certas restrições.
Passo 2
Primeiro, vamos recordar a Desigualdade de AM-GM para três variáveis. Ela diz que, para números positivos
,
e
:
Essa desigualdade será útil para relacionar a soma
com o produto
.
Passo 3
Aplicando a Desigualdade de AM-GM à nossa situação, temos:
Sabemos que
, então substituindo na desigualdade:
Passo 4
Agora, vamos elevar ambos os lados ao cubo para eliminar a raiz cúbica:
Isso nos mostra que o produto
é no máximo 729.
Passo 5
Mas nossa função é
. Então, multiplicando ambos os lados da desigualdade por 2:
Portanto, o valor máximo da função
é 1458.
Passo 6
Agora, precisamos determinar onde esse máximo ocorre, ou seja, os valores de
,
e
. A Desigualdade de AM-GM se torna uma igualdade quando todas as variáveis são iguais. Então, para alcançar o máximo, devemos ter:
Passo 7
Como
e
, podemos escrever:
Portanto,
e
.
Resposta
O ponto de máximo ocorre quando
e o valor máximo da função é
.
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Considere a função
, dada por
Calcule a derivada direcional de no ponto
, na direção
.
Calcule a derivada direcional de
Utilizando Multiplicadores de Lagrange encontre os pontos de máximo/mínimo das funções a seguir:
dada por
sujeita a restrição
.