Para as funções abaixo, faça o que se pede:
Observação: você pode usar as técnicas de desigualdade vistas em sala, sem o uso da teoria do cálculo.
Ache o ponto de máximo e o valor máximo de dada por sobre a restrição .

Passo 1

Vamos primeiro entender o que a questão está pedindo. Temos a função e uma condição que restringe os valores de , e : com . O objetivo é encontrar o ponto onde essa função atinge seu valor máximo e qual é esse valor máximo. Para resolver isso, vamos usar técnicas de desigualdade, especificamente a Desigualdade de AM-GM (Média Aritmética e Média Geométrica), que nos ajuda a encontrar máximos e mínimos de funções sob certas restrições.

Passo 2

Primeiro, vamos recordar a Desigualdade de AM-GM para três variáveis. Ela diz que, para números positivos , e :
Essa desigualdade será útil para relacionar a soma com o produto .

Passo 3

Aplicando a Desigualdade de AM-GM à nossa situação, temos:
Sabemos que , então substituindo na desigualdade:

Passo 4

Agora, vamos elevar ambos os lados ao cubo para eliminar a raiz cúbica:
Isso nos mostra que o produto é no máximo 729.

Passo 5

Mas nossa função é . Então, multiplicando ambos os lados da desigualdade por 2:
Portanto, o valor máximo da função é 1458.

Passo 6

Agora, precisamos determinar onde esse máximo ocorre, ou seja, os valores de , e . A Desigualdade de AM-GM se torna uma igualdade quando todas as variáveis são iguais. Então, para alcançar o máximo, devemos ter:

Passo 7

Como e , podemos escrever:
Portanto, e .

Resposta

O ponto de máximo ocorre quando e o valor máximo da função é .

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