Explique por que o Teste da Integral não pode ser usado para determinar se a série é convergente.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. A pergunta é sobre o Teste da Integral e por que ele não pode ser usado para determinar se a série é convergente. Vamos precisar entender o que é o Teste da Integral e quais são os requisitos para usá-lo.

Passo 2

O Teste da Integral é uma ferramenta utilizada para verificar a convergência ou divergência de séries. Ele funciona da seguinte forma: se temos uma série onde , então a série converge se a integral converge, desde que a função seja positiva, contínua e monotonicamente decrescente para (algum número natural ).

Passo 3

Agora, vamos analisar a série dada: . Aqui, a função é positiva porque é sempre não negativa. Porém, precisamos verificar se é monotonicamente decrescente.

Passo 4

Observamos que é uma função que varia entre 0 e 1 de forma oscilante à medida que aumenta. Isso significa que, mesmo que o denominador cresça com , o numerador não diminui de forma constante. Portanto, a função não é monotonicamente decrescente.

Passo 5

Como o Teste da Integral requer que a função seja monotonicamente decrescente para ser aplicado, e no nosso caso não atende a essa condição, não podemos usar o Teste da Integral para determinar a convergência desta série específica.

Resposta

O Teste da Integral não pode ser aplicado à série porque a função não é monotonicamente decrescente, uma condição necessária para o uso desse teste.

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