Explique por que o Teste da Integral não pode ser usado para determinar se a série é convergente.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. A pergunta é sobre o Teste da Integral e por que ele não pode ser usado para determinar se a série
é convergente. Vamos precisar entender o que é o Teste da Integral e quais são os requisitos para usá-lo.
Passo 2
O Teste da Integral é uma ferramenta utilizada para verificar a convergência ou divergência de séries. Ele funciona da seguinte forma: se temos uma série
onde
, então a série converge se a integral
converge, desde que a função
seja positiva, contínua e monotonicamente decrescente para
(algum número natural
).
Passo 3
Agora, vamos analisar a série dada:
. Aqui, a função
é positiva porque
é sempre não negativa. Porém, precisamos verificar se
é monotonicamente decrescente.
Passo 4
Observamos que
é uma função que varia entre 0 e 1 de forma oscilante à medida que
aumenta. Isso significa que, mesmo que o denominador
cresça com
, o numerador
não diminui de forma constante. Portanto, a função
não é monotonicamente decrescente.
Passo 5
Como o Teste da Integral requer que a função seja monotonicamente decrescente para ser aplicado, e no nosso caso
não atende a essa condição, não podemos usar o Teste da Integral para determinar a convergência desta série específica.
Resposta
O Teste da Integral não pode ser aplicado à série
porque a função
não é monotonicamente decrescente, uma condição necessária para o uso desse teste.