Considere a função dada por .
(a) Determine .
(b) Mostre que .
© Determine .
(d) Mostre que , para todo .

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que você está pedindo. A gente tem a função e quatro questões para resolver:
a) Encontrar — basicamente, quais valores de fazem .
b) Mostrar que a imagem de é — ou seja, quais são os valores que pode assumir.
c) Determinar — ver o que acontece com quando é menor ou igual a zero.
d) Demonstrar que para todo — isso envolve manipulação algébrica da função.
Vamos resolver cada parte passo a passo!

Passo 2

Parte (a): Determinar
Primeiro, representa o conjunto de todos os valores de que, quando substituídos na função , resultam em zero. Ou seja, precisamos resolver a equação:
Vamos resolver essa equação quadrática:
  1. Fatorar a equação:
  1. Igualar cada fator a zero:
  1. Resolver para :
Então, os valores de que fazem são 0 e 2.

Passo 3

Parte (b): Mostrar que
A imagem de uma função, também conhecida como conjunto imagem ou faixa, é o conjunto de todos os valores que pode assumir.
Nossa função é , que é uma parábola. O coeficiente de é negativo, então a parábola abre para baixo, o que significa que tem um ponto máximo.
  1. Encontrar o vértice da parábola:
O vértice de uma parábola dada por é:
Para nossa função:
Calculando :
Agora, calculamos :
  1. Determinar a imagem:
Como a parábola abre para baixo e o vértice está em , os valores de serão menores ou iguais a 1. Portanto:

Passo 4

Parte ©: Determinar
Queremos saber quais valores assume quando é menor ou igual a zero.
Vamos analisar a função para :
  1. Substituir na função:
Para :
  1. Analisar o comportamento de :
Para , é sempre não negativo, então é não positivo. O termo também será não positivo, já que .
  1. Encontrar o valor máximo de para :
Vamos ver o valor de em :
À medida que se torna mais negativo, diminui:
Então, a imagem é todos os valores menores ou iguais a zero.
  1. Conclusão:

Passo 5

Parte (d): Mostrar que para todo
Queremos provar que a expressão é igual a quando .
Vamos calcular passo a passo:
  1. Calcular :
  1. Substituir e na expressão:
  1. Simplificar o numerador:
  1. Substituir de volta na expressão:
Portanto,

Resposta

a)
b)
c)
d) para todo

Exercícios relacionados

Determine se cada uma das funções abaixo é injetora ou sobrejetora. Nos casos em que a função for bijetora, determine sua inversa
(a) Se e dada por:
éíé
(b) Se e dada por:
© .
(d)
(e) .
(f) .
(g) .
Esboce o campo vetorial desenhando um diagrama como o da Figura 5 ou da Figura 9.
Esboçe os gráficos das funções abaixo e determine se elas são monótonas.
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
Determine o domínio máximo das seguintes funções:
(a)
(b)
©