Considere a função
dada por
.
(a) Determine
.
(b) Mostre que
.
© Determine
.
(d) Mostre que
, para todo
.
(a) Determine
(b) Mostre que
© Determine
(d) Mostre que
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que você está pedindo. A gente tem a função
e quatro questões para resolver:
a) Encontrar — basicamente, quais valores de
fazem
.
b) Mostrar que a imagem de é
— ou seja, quais são os valores que
pode assumir.
c) Determinar — ver o que acontece com
quando
é menor ou igual a zero.
d) Demonstrar que para todo
— isso envolve manipulação algébrica da função.
a) Encontrar
b) Mostrar que a imagem de
c) Determinar
d) Demonstrar que
Vamos resolver cada parte passo a passo!
Passo 2
Parte (a): Determinar
Primeiro,
representa o conjunto de todos os valores de
que, quando substituídos na função
, resultam em zero. Ou seja, precisamos resolver a equação:
Vamos resolver essa equação quadrática:
- Fatorar a equação:
- Igualar cada fator a zero:
- Resolver para
:
Então, os valores de
que fazem
são 0 e 2.
Passo 3
Parte (b): Mostrar que
A imagem de uma função, também conhecida como conjunto imagem ou faixa, é o conjunto de todos os valores que
pode assumir.
Nossa função é
, que é uma parábola. O coeficiente de
é negativo, então a parábola abre para baixo, o que significa que tem um ponto máximo.
- Encontrar o vértice da parábola:
O vértice
de uma parábola dada por
é:
Para nossa função:
Calculando
:
Agora, calculamos
:
- Determinar a imagem:
Como a parábola abre para baixo e o vértice está em
, os valores de
serão menores ou iguais a 1. Portanto:
Passo 4
Parte ©: Determinar
Queremos saber quais valores
assume quando
é menor ou igual a zero.
Vamos analisar a função
para
:
- Substituir
na função:
Para
:
- Analisar o comportamento de
:
Para
,
é sempre não negativo, então
é não positivo. O termo
também será não positivo, já que
.
- Encontrar o valor máximo de
para :
Vamos ver o valor de
em
:
À medida que
se torna mais negativo,
diminui:
Então, a imagem é todos os valores menores ou iguais a zero.
- Conclusão:
Passo 5
Parte (d): Mostrar que
para todo
Queremos provar que a expressão
é igual a
quando
.
Vamos calcular passo a passo:
- Calcular
:
- Substituir
e na expressão:
- Simplificar o numerador:
- Substituir de volta na expressão:
Portanto,
Resposta
a)
b)
c)
d)
para todo
Exercícios relacionados
Determine se cada uma das funções abaixo é injetora ou sobrejetora. Nos casos em que a função for bijetora, determine sua inversa
(a) Se e
dada por:
(a) Se
(b) Se
e
dada por:
©
.
(d)
(e) .
(f) .
(g) .
(d)
(e)
(f)
(g)
Esboce o campo vetorial
desenhando um diagrama como o da Figura 5 ou da Figura 9.
Esboçe os gráficos das funções abaixo e determine se elas são monótonas.
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
Determine o domínio máximo
das seguintes funções:
(a)
(b)
©
(a)
(b)
©