Determine se cada uma das funções abaixo é injetora ou sobrejetora. Nos casos em que a função for bijetora, determine sua inversa
(a) Se A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} e f: A -> A dada por:
f(x) = { x, se x é ímpar; x/2, se x é par }éíé
(b) Se A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} e f: A -> A dada por:
f(x) = { x + 1, se x ≠ 7; 1, se x = 7 }
© f: N -> N, f(n) = 3n + 1.
(d) f: Z -> Z, f(n) = n - |n|
(e) f: (0,+infinito) -> R, f(x) = 1/x.
(f) f: R \ {0} -> R, f(x) = 1/x^2.
(g) f : [0, +∞) -> [0, +∞), f(x) = raiz(x).

Passo 1

Vamos analisar a função dada na letra (a). Temos o conjunto e uma função definida por:
éíé
O conteúdo envolve funções injetoras, sobrejetoras e bijetoras. Precisamos verificar se é injetora, sobrejetora e, se for bijetora, encontrar sua inversa.

Passo 2

Verificando se é injetora:
Uma função é injetora se elementos diferentes do domínio apontam para elementos diferentes do contradomínio.
Vamos examinar cada elemento de :
  • Para ímpar:
  • Para par:
Observamos que:
  • e (dois diferentes mapeando para o mesmo valor)
  • e
Como há valores diferentes de que resultam no mesmo , a função não é injetora.

Passo 3

Verificando se é sobrejetora:
Uma função é sobrejetora se todo elemento do contradomínio é atingido por pelo menos um elemento do domínio.
O contradomínio é .
Observando os valores de :
Os valores 4 e 6 não são atingidos por nenhum .
Portanto, a função não é sobrejetora.

Passo 4

Conclusão para a letra (a):
Como a função não é injetora nem sobrejetora, ela não é bijetora. Portanto, não há necessidade de encontrar a inversa.

Resposta

A função definida na letra (a) não é injetora, não é sobrejetora e, consequentemente, não é bijetora. Não possui inversa.

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