Determine se cada uma das funções abaixo é injetora ou sobrejetora. Nos casos em que a função for bijetora, determine sua inversa
(a) Se
e
dada por:
(b) Se
e
dada por:
©
.
(d)
(e)
.
(f)
.
(g)
.
(a) Se
(d)
(e)
(f)
(g)
Passo 1
Vamos analisar a função dada na letra (a). Temos o conjunto
e uma função
definida por:
O conteúdo envolve funções injetoras, sobrejetoras e bijetoras. Precisamos verificar se
é injetora, sobrejetora e, se for bijetora, encontrar sua inversa.
Passo 2
Verificando se
é injetora:
Uma função é injetora se elementos diferentes do domínio apontam para elementos diferentes do contradomínio.
Vamos examinar cada elemento de
:
-
Para
ímpar: -
-
Para
par: -
Observamos que:
-
e (dois diferentes mapeando para o mesmo valor) -
e
Como há valores diferentes de
que resultam no mesmo
, a função não é injetora.
Passo 3
Verificando se
é sobrejetora:
Uma função é sobrejetora se todo elemento do contradomínio é atingido por pelo menos um elemento do domínio.
O contradomínio é
.
Observando os valores de
:
Os valores 4 e 6 não são atingidos por nenhum
.
Portanto, a função não é sobrejetora.
Passo 4
Conclusão para a letra (a):
Como a função
não é injetora nem sobrejetora, ela não é bijetora. Portanto, não há necessidade de encontrar a inversa.
Resposta
A função definida na letra (a) não é injetora, não é sobrejetora e, consequentemente, não é bijetora. Não possui inversa.