Esboce o campo vetorial
desenhando um diagrama como o da Figura 5 ou da Figura 9.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede para a gente esboçar o campo vetorial
. Aqui, estamos lidando com Campos Vetoriais, que são funções que associam um vetor a cada ponto no espaço. Para resolver, vamos entender o que essa função faz e como desenhar os vetores no espaço.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a função vetorial dada:
. Isso significa que, para qualquer ponto
no espaço, o vetor
tem apenas uma componente na direção
(que é a direção do eixo
) e essa componente é igual a
. Ou seja, a magnitude do vetor depende do valor de
no ponto.
Passo 3
Vamos interpretar isso: se
for positivo, a componente
será negativa, então o vetor aponta para baixo no eixo
. Se
for negativo,
será positivo, e o vetor aponta para cima. E se
for zero, o vetor não tem componente no
, ou seja, é o vetor nulo.
Passo 4
Agora, para esboçar o campo vetorial, vamos pensar em diferentes pontos no plano
(já que a componente
é definida por
). Por exemplo:
- No ponto
, (vetor para baixo). - No ponto
, (vetor para cima). - No ponto
, (vetor nulo).
Passo 5
Desenhando isso no diagrama:
- Para cada ponto no plano
, desenhe uma seta que aponta para cima ou para baixo ao longo do eixo , dependendo do valor de . - A magnitude da seta aumenta conforme o valor absoluto de
aumenta. - No eixo
, onde , todas as setas serão nulas.
Passo 6
Assim, o esboço do campo vetorial
mostrará vetores verticais que variam em direção e magnitude conforme a posição no eixo
. Isso cria um padrão onde os vetores apontam para cima em uma metade do plano e para baixo na outra, com a intensidade aumentando à medida que nos afastamos do eixo
.
Resposta
O esboço do campo vetorial
consiste em vetores verticais que apontam para baixo quando
é positivo e para cima quando
é negativo, com a magnitude dos vetores aumentando conforme o valor absoluto de
aumenta. No eixo
(
), os vetores são nulos.
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da lei de movimento de Newton, a equação se torna
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Mostre que a solução para a equação de velocidade, quando
, é da forma
onde
e
é a população no instante
, com a taxa de mortalidade e rearranjarmos as constantes, obtemos o modelo logístico
A equação (25) tem duas soluções de equilíbrio (constantes):
e
. Mostre que uma solução para (25) é da forma
Determine se cada uma das funções abaixo é injetora ou sobrejetora. Nos casos em que a função for bijetora, determine sua inversa
(a) Se e
dada por:
(a) Se
(b) Se
e
dada por:
©
.
(d)
(e) .
(f) .
(g) .
(d)
(e)
(f)
(g)
Considere a função
dada por
.
(a) Determine .
(b) Mostre que .
© Determine .
(d) Mostre que , para todo
.
(a) Determine
(b) Mostre que
© Determine
(d) Mostre que