Esboce o campo vetorial desenhando um diagrama como o da Figura 5 ou da Figura 9.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede para a gente esboçar o campo vetorial . Aqui, estamos lidando com Campos Vetoriais, que são funções que associam um vetor a cada ponto no espaço. Para resolver, vamos entender o que essa função faz e como desenhar os vetores no espaço.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a função vetorial dada: . Isso significa que, para qualquer ponto no espaço, o vetor tem apenas uma componente na direção (que é a direção do eixo ) e essa componente é igual a . Ou seja, a magnitude do vetor depende do valor de no ponto.

Passo 3

Vamos interpretar isso: se for positivo, a componente será negativa, então o vetor aponta para baixo no eixo . Se for negativo, será positivo, e o vetor aponta para cima. E se for zero, o vetor não tem componente no , ou seja, é o vetor nulo.

Passo 4

Agora, para esboçar o campo vetorial, vamos pensar em diferentes pontos no plano (já que a componente é definida por ). Por exemplo:
  • No ponto , (vetor para baixo).
  • No ponto , (vetor para cima).
  • No ponto , (vetor nulo).

Passo 5

Desenhando isso no diagrama:
  • Para cada ponto no plano , desenhe uma seta que aponta para cima ou para baixo ao longo do eixo , dependendo do valor de .
  • A magnitude da seta aumenta conforme o valor absoluto de aumenta.
  • No eixo , onde , todas as setas serão nulas.

Passo 6

Assim, o esboço do campo vetorial mostrará vetores verticais que variam em direção e magnitude conforme a posição no eixo . Isso cria um padrão onde os vetores apontam para cima em uma metade do plano e para baixo na outra, com a intensidade aumentando à medida que nos afastamos do eixo .

Resposta

O esboço do campo vetorial consiste em vetores verticais que apontam para baixo quando é positivo e para cima quando é negativo, com a magnitude dos vetores aumentando conforme o valor absoluto de aumenta. No eixo ( ), os vetores são nulos.

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éíé
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© .
(d)
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(f) .
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(a) Determine .
(b) Mostre que .
© Determine .
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