Esboçe os gráficos das funções abaixo e determine se elas são monótonas.
(a) f: [0, +infinito) -> R, f(x) = raiz(x)
(b) f: R -> R, f(x) = -x^2 + 2x
© f: R -> R, f(x) = 2|x|
(d) f: R -> R, f(x) = |x - 1| + 2
(e) f: R -> R, f(x) = (x - 1)^3
(f) f: R \ {0} -> R, f(x) = (x + 1) / x
(g) f: R -> R, f(x) = -2x + 3
(h) f: R -> R, f(x) = { 2x, se x <= -1; -x + 1, se x > -1 }

Passo 1

No enunciado, precisamos esboçar os gráficos de diversas funções e determinar se elas são monótonas. Para isso, vamos utilizar conceitos de derivadas para analisar o comportamento das funções, identificando intervalos onde são crescentes ou decrescentes.

Passo 2

(a) , domínio
Primeiro, vamos esboçar o gráfico da função . A raiz quadrada de x começa no ponto (0,0) e aumenta conforme x cresce.
Para determinar a monotonicidade, calculamos a derivada:
Como para todo , a função é crescente em todo o seu domínio.

Passo 3

(b) , domínio
Esboçando o gráfico, notamos que é uma parábola que abre para baixo devido ao coeficiente negativo de .
Calculamos a derivada:
Igualando a zero para encontrar os extremos:
A função é crescente para e decrescente para . Portanto, não é monótona em todo o domínio.

Passo 4

© , domínio
O gráfico de é uma V que intersecta o ponto (0,0).
Para a derivada:
No ponto , a derivada não está definida. Assim, a função é decrescente para e crescente para , não sendo monótona em todo o domínio.

Passo 5

(d) , domínio
O gráfico é uma V com vértice em .
Para a derivada:
No ponto , a derivada não está definida. Portanto, a função é decrescente para e crescente para , não sendo monótona em todo o domínio.

Passo 6

(e) , domínio
Esboçando, temos uma curva cúbica com inflexão em .
Calculamos a derivada:
Como para todo , a função é crescente em todo o seu domínio.

Passo 7

(f) , domínio
Simplificando a função:
Calculamos a derivada:
Como para todo , a função é decrescente em cada intervalo do seu domínio.

Passo 8

(g) , domínio
Calculamos a derivada:
Como para todo , a função é decrescente em todo o domínio.

Passo 9

(h)
Analisando cada caso:
  • Para :
  • Para :
A função muda de crescente para decrescente em , portanto, não é monótona em todo o domínio.

Resposta

Das funções analisadas:
  • Monótonas:
    • (a) – Crescente.
    • (e) – Crescente.
    • (f) – Decrescente.
    • (g) – Decrescente.
  • Não Monótonas:
    • (b) .
    • © .
    • (d) .
    • (h) .

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