Esboçe os gráficos das funções abaixo e determine se elas são monótonas.
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)

Passo 1

No enunciado, precisamos esboçar os gráficos de diversas funções e determinar se elas são monótonas. Para isso, vamos utilizar conceitos de derivadas para analisar o comportamento das funções, identificando intervalos onde são crescentes ou decrescentes.

Passo 2

(a) , domínio
Primeiro, vamos esboçar o gráfico da função . A raiz quadrada de x começa no ponto (0,0) e aumenta conforme x cresce.
Para determinar a monotonicidade, calculamos a derivada:
Como para todo , a função é crescente em todo o seu domínio.

Passo 3

(b) , domínio
Esboçando o gráfico, notamos que é uma parábola que abre para baixo devido ao coeficiente negativo de .
Calculamos a derivada:
Igualando a zero para encontrar os extremos:
A função é crescente para e decrescente para . Portanto, não é monótona em todo o domínio.

Passo 4

© , domínio
O gráfico de é uma V que intersecta o ponto (0,0).
Para a derivada:
No ponto , a derivada não está definida. Assim, a função é decrescente para e crescente para , não sendo monótona em todo o domínio.

Passo 5

(d) , domínio
O gráfico é uma V com vértice em .
Para a derivada:
No ponto , a derivada não está definida. Portanto, a função é decrescente para e crescente para , não sendo monótona em todo o domínio.

Passo 6

(e) , domínio
Esboçando, temos uma curva cúbica com inflexão em .
Calculamos a derivada:
Como para todo , a função é crescente em todo o seu domínio.

Passo 7

(f) , domínio
Simplificando a função:
Calculamos a derivada:
Como para todo , a função é decrescente em cada intervalo do seu domínio.

Passo 8

(g) , domínio
Calculamos a derivada:
Como para todo , a função é decrescente em todo o domínio.

Passo 9

(h)
Analisando cada caso:
  • Para :
  • Para :
A função muda de crescente para decrescente em , portanto, não é monótona em todo o domínio.

Resposta

Das funções analisadas:
  • Monótonas:
    • (a) – Crescente.
    • (e) – Crescente.
    • (f) – Decrescente.
    • (g) – Decrescente.
  • Não Monótonas:
    • (b) .
    • © .
    • (d) .
    • (h) .

Exercícios relacionados

Considere a função dada por .
(a) Determine .
(b) Mostre que .
© Determine .
(d) Mostre que , para todo .
Determine se cada uma das funções abaixo é injetora ou sobrejetora. Nos casos em que a função for bijetora, determine sua inversa
(a) Se e dada por:
éíé
(b) Se e dada por:
© .
(d)
(e) .
(f) .
(g) .
Determine o domínio máximo das seguintes funções:
(a)
(b)
©
Esboce o gráfico das funções abaixo. Determine em quais regiões essas funções são (estritamente) crescentes, (estritamente) decrescentes, negativas e positivas.
(a)
(b)
©