Esboçe os gráficos das funções abaixo e determine se elas são monótonas.
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
Passo 1
No enunciado, precisamos esboçar os gráficos de diversas funções e determinar se elas são monótonas. Para isso, vamos utilizar conceitos de derivadas para analisar o comportamento das funções, identificando intervalos onde são crescentes ou decrescentes.
Passo 2
(a)
, domínio
Primeiro, vamos esboçar o gráfico da função
. A raiz quadrada de x começa no ponto (0,0) e aumenta conforme x cresce.
Para determinar a monotonicidade, calculamos a derivada:
Como
para todo
, a função é crescente em todo o seu domínio.
Passo 3
(b)
, domínio
Esboçando o gráfico, notamos que é uma parábola que abre para baixo devido ao coeficiente negativo de
.
Calculamos a derivada:
Igualando a zero para encontrar os extremos:
A função é crescente para
e decrescente para
. Portanto, não é monótona em todo o domínio.
Passo 4
©
, domínio
O gráfico de
é uma V que intersecta o ponto (0,0).
Para a derivada:
No ponto
, a derivada não está definida. Assim, a função é decrescente para
e crescente para
, não sendo monótona em todo o domínio.
Passo 5
(d)
, domínio
O gráfico é uma V com vértice em
.
Para a derivada:
No ponto
, a derivada não está definida. Portanto, a função é decrescente para
e crescente para
, não sendo monótona em todo o domínio.
Passo 6
(e)
, domínio
Esboçando, temos uma curva cúbica com inflexão em
.
Calculamos a derivada:
Como
para todo
, a função é crescente em todo o seu domínio.
Passo 7
(f)
, domínio
Simplificando a função:
Calculamos a derivada:
Como
para todo
, a função é decrescente em cada intervalo do seu domínio.
Passo 8
(g)
, domínio
Calculamos a derivada:
Como
para todo
, a função é decrescente em todo o domínio.
Passo 9
(h)
Analisando cada caso:
-
Para
: -
Para
:
A função muda de crescente para decrescente em
, portanto, não é monótona em todo o domínio.
Resposta
Das funções analisadas:
-
Monótonas:
- (a)
– Crescente. - (e)
– Crescente. - (f)
– Decrescente. - (g)
– Decrescente.
- (a)
-
Não Monótonas:
- (b)
. - ©
. - (d)
. - (h)
.
- (b)
Exercícios relacionados
Considere a função
dada por
.
(a) Determine .
(b) Mostre que .
© Determine .
(d) Mostre que , para todo
.
(a) Determine
(b) Mostre que
© Determine
(d) Mostre que
Determine se cada uma das funções abaixo é injetora ou sobrejetora. Nos casos em que a função for bijetora, determine sua inversa
(a) Se e
dada por:
(a) Se
(b) Se
e
dada por:
©
.
(d)
(e) .
(f) .
(g) .
(d)
(e)
(f)
(g)
Determine o domínio máximo
das seguintes funções:
(a)
(b)
©
(a)
(b)
©
Esboce o gráfico das funções abaixo. Determine em quais regiões essas funções são (estritamente) crescentes, (estritamente) decrescentes, negativas e positivas.
(a)
(b)
©
(a)
(b)
©