Determine o domínio máximo
das seguintes funções:
(a)
(b)
©
(a)
(b)
©
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A parada aqui é encontrar o domínio máximo
de três funções diferentes: uma função tangente, uma função arco-cosseno e uma função arco-seno. Pra isso, vamos precisar entender como cada uma dessas funções funciona e quais são as restrições para que elas sejam definidas. Vamos lá!
Passo 2
Parte (a):
Primeiro, vamos falar sobre a função tangente
. A tangente de um ângulo é definida como o seno desse ângulo dividido pelo cosseno. Ou seja:
Restrição: A tangente não está definida quando o cosseno é zero, porque não podemos dividir por zero. O cosseno é zero em ângulos de
, onde
é qualquer número inteiro.
Então, para
, precisamos garantir que
não seja igual a
. Vamos expressar isso matematicamente:
Resultado: O domínio de
é todos os números reais exceto aqueles que tornam
igual a
.
Passo 3
Parte (b):
Agora, vamos falar sobre a função arco-cosseno
. Essa função está definida apenas para valores de entrada entre -1 e 1, ou seja:
Além disso, o denominador
não pode ser zero, então
ou seja,
.
Vamos resolver as desigualdades:
- Primeira desigualdade:
Multiplicando ambos os lados por
(lembrando que isso pode inverter a desigualdade dependendo do sinal de
):
- Segunda desigualdade:
Multiplicando ambos os lados por
:
Combinação das restrições:
Como
já está coberto no intervalo acima, podemos expressar o domínio como:
Passo 4
Parte ©:
Por último, vamos analisar a função arco-seno . Essa função também está definida apenas para valores de entrada entre -1 e 1:
Além disso, o denominador
não pode ser zero, ou seja,
ou
.
Vamos resolver as desigualdades:
- Primeira desigualdade:
Multiplicando ambos os lados por
e considerando o sinal:
Resolvendo a inequação quadrática:
Assim, os intervalos onde a expressão é maior ou igual a zero são
ou
.
- Segunda desigualdade:
Multiplicando ambos os lados por
:
Resolvendo a inequação quadrática:
Os intervalos onde a expressão é menor ou igual a zero são
.
Combinação das restrições:
Podemos representar o domínio como a interseção dos intervalos obtidos:
E lembrar que
.
Resposta
Resumindo, os domínios máximos
das funções são:
a)
b)
c)
, com
Exercícios relacionados
Esboçe os gráficos das funções abaixo e determine se elas são monótonas.
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
Considere a função
dada por
.
(a) Determine .
(b) Mostre que .
© Determine .
(d) Mostre que , para todo
.
(a) Determine
(b) Mostre que
© Determine
(d) Mostre que
Esboce o gráfico das funções abaixo. Determine em quais regiões essas funções são (estritamente) crescentes, (estritamente) decrescentes, negativas e positivas.
(a)
(b)
©
(a)
(b)
©
Esboce os gráficos das seguintes funções:
(a)
(b)
©
(d)
(a)
(b)
©
(d)