Determine o domínio máximo das seguintes funções:
(a)
(b)
©

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A parada aqui é encontrar o domínio máximo de três funções diferentes: uma função tangente, uma função arco-cosseno e uma função arco-seno. Pra isso, vamos precisar entender como cada uma dessas funções funciona e quais são as restrições para que elas sejam definidas. Vamos lá!

Passo 2

Parte (a):

Primeiro, vamos falar sobre a função tangente . A tangente de um ângulo é definida como o seno desse ângulo dividido pelo cosseno. Ou seja:
Restrição: A tangente não está definida quando o cosseno é zero, porque não podemos dividir por zero. O cosseno é zero em ângulos de , onde é qualquer número inteiro.
Então, para , precisamos garantir que não seja igual a . Vamos expressar isso matematicamente:
Resultado: O domínio de é todos os números reais exceto aqueles que tornam igual a .

Passo 3

Parte (b):

Agora, vamos falar sobre a função arco-cosseno . Essa função está definida apenas para valores de entrada entre -1 e 1, ou seja:
Além disso, o denominador não pode ser zero, então ou seja, .
Vamos resolver as desigualdades:
  1. Primeira desigualdade:
Multiplicando ambos os lados por (lembrando que isso pode inverter a desigualdade dependendo do sinal de ):
  1. Segunda desigualdade:
Multiplicando ambos os lados por :
Combinação das restrições:
Como já está coberto no intervalo acima, podemos expressar o domínio como:

Passo 4

Parte ©:

Por último, vamos analisar a função arco-seno . Essa função também está definida apenas para valores de entrada entre -1 e 1:
Além disso, o denominador não pode ser zero, ou seja, ou .
Vamos resolver as desigualdades:
  1. Primeira desigualdade:
Multiplicando ambos os lados por e considerando o sinal:
Resolvendo a inequação quadrática:
Assim, os intervalos onde a expressão é maior ou igual a zero são ou .
  1. Segunda desigualdade:
Multiplicando ambos os lados por :
Resolvendo a inequação quadrática:
Os intervalos onde a expressão é menor ou igual a zero são .
Combinação das restrições:
Podemos representar o domínio como a interseção dos intervalos obtidos:
E lembrar que .

Resposta

Resumindo, os domínios máximos das funções são:
a)
b)
c) , com

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Esboçe os gráficos das funções abaixo e determine se elas são monótonas.
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
Considere a função dada por .
(a) Determine .
(b) Mostre que .
© Determine .
(d) Mostre que , para todo .
Esboce o gráfico das funções abaixo. Determine em quais regiões essas funções são (estritamente) crescentes, (estritamente) decrescentes, negativas e positivas.
(a)
(b)
©
Esboce os gráficos das seguintes funções:
(a)
(b)
©
(d)