Considere a função f: R^2 R, dada por
f(x, y)=cc x^3-y^2x^2+y^2, & se (x, y) neq(0,0) 0, & se (x, y)=(0,0)

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me passou uma função de duas variáveis, , que é definida de forma diferente dependendo se o ponto é igual a ou não. A nossa missão é analisar essa função para entender melhor o que está acontecendo no ponto . Para isso, vamos precisar usar conceitos de limites em funções de várias variáveis e verificar a continuidade dessa função nesse ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que a função faz quando f(x, y) = x^3 - y^2x^2 + y^2 . Ela é dada por:
E no ponto , a função vale 0.

Passo 3

Nosso objetivo principal é verificar se a função é contínua no ponto . Para isso, precisamos calcular o limite de quando se aproxima de e ver se esse limite é igual ao valor da função nesse ponto, que é 0.

Passo 4

Vamos calcular o limite:
lim(x, y) to (0,0) x^3 - y^2x^2 + y^2
Para facilitar, podemos converter para coordenadas polares, onde e . Isso ajuda a simplificar a expressão, já que tende a 0 quando se aproxima de .

Passo 5

Substituindo f(r, theta) = (r cos theta)^3 - (r sin theta)^2(r cos theta)^2 + (r sin theta)^2 e por e , temos:
Vamos simplificar cada parte.

Passo 6

Calculando o numerador:
(r cos theta)^3 = r^3 cos^3 theta
(r sin theta)^2 = r^2 sin^2 theta
Então, o numerador fica:
r^3 cos^3 theta - r^2 sin^2 theta = r^2 (r cos^3 theta - sin^2 theta)

Passo 7

Calculando o denominador:
(r cos theta)^2 + (r sin theta)^2 = r^2 cos^2 theta + r^2 sin^2 theta = r^2 (cos^2 theta + sin^2 theta) = r^2
Então, o denominador é .

Passo 8

Agora, substituindo o numerador e denominador na função:
f(r, theta) = r^2 (r cos^3 theta - sin^2 theta)r^2 = r cos^3 theta - sin^2 theta
Simplificamos os que se cancelaram.

Passo 9

Agora, calculamos o limite quando limr to 0 (r cos^3 theta - sin^2 theta) = limr to 0 r cos^3 theta - limr to 0 sin^2 theta :
Sabemos que , mas depende de .

Passo 10

Aqui percebemos que o limite depende do ângulo . Se escolhermos diferentes caminhos para se aproximarem de , pode assumir diferentes valores, o que significa que o limite não é o mesmo em todos os caminhos.

Passo 11

Por exemplo, se nos aproximarmos ao longo do eixo ( ), então e . O limite será 0.
Se nos aproximarmos ao longo do eixo ( ), então e . O limite será .
Como os limites são diferentes, concluímos que o limite de quando não existe.

Resposta

O limite de quando se aproxima de não existe, o que implica que a função não é contínua nesse ponto.

Exercícios relacionados