Considere a função
, dada por
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me passou uma função de duas variáveis,
, que é definida de forma diferente dependendo se o ponto
é igual a
ou não. A nossa missão é analisar essa função para entender melhor o que está acontecendo no ponto
. Para isso, vamos precisar usar conceitos de limites em funções de várias variáveis e verificar a continuidade dessa função nesse ponto.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que a função faz quando
. Ela é dada por:
E no ponto
, a função vale 0.
Passo 3
Nosso objetivo principal é verificar se a função
é contínua no ponto
. Para isso, precisamos calcular o limite de
quando
se aproxima de
e ver se esse limite é igual ao valor da função nesse ponto, que é 0.
Passo 4
Vamos calcular o limite:
Para facilitar, podemos converter para coordenadas polares, onde
e
. Isso ajuda a simplificar a expressão, já que
tende a 0 quando
se aproxima de
.
Passo 5
Substituindo
e
por
e
, temos:
Vamos simplificar cada parte.
Passo 6
Calculando o numerador:
Então, o numerador fica:
Passo 7
Calculando o denominador:
Então, o denominador é
.
Passo 8
Agora, substituindo o numerador e denominador na função:
Simplificamos os
que se cancelaram.
Passo 9
Agora, calculamos o limite quando
:
Sabemos que
, mas
depende de
.
Passo 10
Aqui percebemos que o limite depende do ângulo
. Se escolhermos diferentes caminhos para
se aproximarem de
,
pode assumir diferentes valores, o que significa que o limite não é o mesmo em todos os caminhos.
Passo 11
Por exemplo, se nos aproximarmos ao longo do eixo
(
), então
e
. O limite será 0.
Se nos aproximarmos ao longo do eixo
(
), então
e
. O limite será
.
Como os limites são diferentes, concluímos que o limite de
quando
não existe.
Resposta
O limite de
quando
se aproxima de
não existe, o que implica que a função
não é contínua nesse ponto.
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d) .
d)
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Calculai o produto escalar
entre os vetores
e
abaixo.
a) e
.
a)