Use o teste limite de comparação para determinar se a série converge ou diverge.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. A gente tem a série:
O objetivo aqui é usar o Teste de Comparação por Limites para determinar se essa série converge (tem uma soma definida) ou diverge (não tem uma soma definida). Para isso, vamos precisar comparar nossa série com uma outra que a gente já sabe se converge ou diverge.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão da série para facilitar a análise:
Observando isso, podemos perceber que para valores grandes de
, o termo
domina no denominador. Então, podemos simplificar essa fração aproximando o denominador por
:
Então, nossa série se comporta, aproximadamente, como:
Passo 3
Agora, vamos lembrar do Teste de Comparação por Limites. Esse teste diz que se temos duas séries
e
com
, e se:
onde
é um número real positivo, então ambas as séries ou convergem ou divergem juntas.
Passo 4
Vamos aplicar esse teste na nossa série. Aqui,
e
. Vamos calcular o limite:
Simplificando mais:
Passo 5
Como o limite é
(um número real positivo), pelo Teste de Comparação por Limites, a série
e a série
convergem ou divergem juntas.
Passo 6
Sabemos que a série
é a conhecida Série Harmônica, que diverge. Portanto, pela comparação, nossa série também diverge.
Resposta
A série
diverge.