Considere a função dada por
Calcule
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão apresenta uma função de duas variáveis,
, que é definida de forma diferente quando
é igual a
e quando não é. O conteúdo principal aqui envolve cálculo de derivadas parciais. Precisamos calcular o valor da função em
, as derivadas parciais em
e em
, e finalmente combinar tudo conforme a expressão dada.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular
. Como
, usamos a definição da função para
:
Passo 3
Agora, vamos encontrar a derivada parcial de
em relação a
no ponto
, ou seja,
. A derivada parcial em relação a
de
é dada por:
Aplicando a regra do quociente:
Substituindo
:
Passo 4
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
no ponto
, ou seja,
. A derivada parcial em relação a
de
é:
Aplicando a regra do quociente:
Substituindo
:
Passo 5
Por fim, precisamos calcular a derivada parcial de
em relação a
no ponto
, ou seja,
. Como a função está definida como 0 em
, usamos a definição de derivada parcial:
Calculando
:
Então:
Resposta
Substituindo todos os valores na expressão:
A resposta final é 2,4.