Considere a função dada por
f(x, y)=l 5 x y^2x^2+y^2, se (x, y) neq(0,0) 0, se(x, y)=(0,0)
Calcule
f(1,2)-partial fpartial x(1,2)+partial fpartial y(1,2)-partial fpartial x(0,0)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão apresenta uma função de duas variáveis, , que é definida de forma diferente quando é igual a e quando não é. O conteúdo principal aqui envolve cálculo de derivadas parciais. Precisamos calcular o valor da função em , as derivadas parciais em e em , e finalmente combinar tudo conforme a expressão dada.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular f(1,2) = 5 cdot 1 cdot 2^21^2 + 2^2 = 5 cdot 1 cdot 41 + 4 = 205 = 4 . Como , usamos a definição da função para :

Passo 3

Agora, vamos encontrar a derivada parcial de partial fpartial x = partialpartial x ( 5xy^2x^2 + y^2 ) em relação a partial fpartial x = 5y^2(x^2 + y^2) - 5xy^2(2x)(x^2 + y^2)^2 = 5y^2(x^2 + y^2 - 2x^2)(x^2 + y^2)^2 = 5y^2(y^2 - x^2)(x^2 + y^2)^2 no ponto partial fpartial x(1,2) = 5 cdot 2^2(2^2 - 1^2)(1^2 + 2^2)^2 = 5 cdot 4 cdot (4 - 1)25 = 5 cdot 4 cdot 325 = 6025 = 2,4 , ou seja, . A derivada parcial em relação a de é dada por:
Aplicando a regra do quociente:
Substituindo :

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada parcial de partial fpartial y = partialpartial y ( 5xy^2x^2 + y^2 ) em relação a partial fpartial y = 10xy(x^2 + y^2) - 5xy^2(2y)(x^2 + y^2)^2 = 10x y (x^2 + y^2) - 10x y^3(x^2 + y^2)^2 = 10x y x^2 + 10x y y^2 - 10x y^3(x^2 + y^2)^2 = 10x y x^2(x^2 + y^2)^2 no ponto partial fpartial y(1,2) = 10 cdot 1 cdot 2 cdot 1^2(1^2 + 2^2)^2 = 2025 = 0,8 , ou seja, . A derivada parcial em relação a de é:
Aplicando a regra do quociente:
Substituindo :

Passo 5

Por fim, precisamos calcular a derivada parcial de partial fpartial x(0,0) = limh to 0 f(h,0) - f(0,0)h em relação a f(h,0) = 5h cdot 0^2h^2 + 0^2 = 0 no ponto partial fpartial x(0,0) = limh to 0 0 - 0h = 0 , ou seja, . Como a função está definida como 0 em , usamos a definição de derivada parcial:
Calculando :
Então:

Resposta

Substituindo todos os valores na expressão:
f(1,2) - partial fpartial x(1,2) + partial fpartial y(1,2) - partial fpartial x(0,0) = 4 - 2,4 + 0,8 - 0 = 2,4
A resposta final é 2,4.

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