Seja f(x, y) = x^2 + y^2.
Encontre a inclinação da reta tangente à curva de interseção da superfície z = f(x, y) com o plano y = 1, no ponto P = (2, 1).

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos a função que representa uma superfície no espaço tridimensional. A tarefa é encontrar a inclinação da reta tangente à curva de interseção dessa superfície com o plano no ponto .
Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de cálculo multivariável, especificamente sobre curvas de interseção de superfícies e retas tangentes. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a curva de interseção entre a superfície e o plano . Substituindo na função, temos:
Então, a curva de interseção é definida por quando . Essa é uma parábola no plano .

Passo 3

Agora, queremos encontrar a reta tangente a essa curva no ponto . Mas note que nossa curva está em 3D, então o ponto completo seria . Calculando no ponto :
Então, o ponto completo é .

Passo 4

Para encontrar a inclinação da reta tangente, precisamos calcular a derivada de em relação a na curva . A derivada nos dá a taxa de variação de em relação a , ou seja, a inclinação da reta tangente.
Calculando a derivada:

Passo 5

Agora, avaliamos a derivada no ponto :
Então, a inclinação da reta tangente no ponto é 4.

Resposta

A inclinação da reta tangente é igual a 4.

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