Seja .
Encontre a inclinação da reta tangente à curva de interseção da superfície com o plano , no ponto .
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos a função que representa uma superfície no espaço tridimensional. A tarefa é encontrar a inclinação da reta tangente à curva de interseção dessa superfície com o plano no ponto .
Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de cálculo multivariável, especificamente sobre curvas de interseção de superfícies e retas tangentes. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a curva de interseção entre a superfície e o plano . Substituindo na função, temos:
Então, a curva de interseção é definida por quando . Essa é uma parábola no plano .
Passo 3
Agora, queremos encontrar a reta tangente a essa curva no ponto . Mas note que nossa curva está em 3D, então o ponto completo seria . Calculando no ponto :
Então, o ponto completo é .
Passo 4
Para encontrar a inclinação da reta tangente, precisamos calcular a derivada de em relação a na curva . A derivada nos dá a taxa de variação de em relação a , ou seja, a inclinação da reta tangente.
Calculando a derivada:
Passo 5
Agora, avaliamos a derivada no ponto :
Então, a inclinação da reta tangente no ponto é 4.