Determine as derivadas parciais indicadas:
, para e

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar as derivadas parciais de em relação a e . A função dada é , onde e . Para resolver isso, vamos precisar usar a derivação implícita e a regra da cadeia. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, observe que está definido de forma implícita em relação a . Isso significa que não temos diretamente como uma função explícita de , mas sim uma relação que envolve e . Para encontrar e , vamos derivar ambos os lados da equação em relação a e .

Passo 3

Vamos começar derivando em relação a . Diferenciando ambos os lados da equação em relação a :
Aqui usamos a derivada da função composta e aplicamos a regra da cadeia.

Passo 4

Agora, vamos rearranjar a equação para isolar :
Fatorando :

Passo 5

Isolando :
Simplificando:

Passo 6

Sabemos que , então vamos calcular :
Substituindo na expressão de :

Passo 7

Agora, vamos derivar em relação a . De forma similar, diferenciando ambos os lados da equação em relação a :

Passo 8

Rearranjando para isolar :
Fatorando :

Passo 9

Isolando :
Simplificando:

Passo 10

Calculamos . Sabemos que , então:
Substituindo na expressão de :

Resposta

As derivadas parciais são:
e

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Seja .
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Calcule
Determine , para definida implicitamnte por:
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e