Determine as derivadas parciais indicadas:
, para
e
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar as derivadas parciais de
em relação a
e
. A função dada é
, onde
e
. Para resolver isso, vamos precisar usar a derivação implícita e a regra da cadeia. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, observe que
está definido de forma implícita em relação a
. Isso significa que não temos
diretamente como uma função explícita de
, mas sim uma relação que envolve
e
. Para encontrar
e
, vamos derivar ambos os lados da equação em relação a
e
.
Passo 3
Vamos começar derivando em relação a
. Diferenciando ambos os lados da equação
em relação a
:
Aqui usamos a derivada da função composta
e aplicamos a regra da cadeia.
Passo 4
Agora, vamos rearranjar a equação para isolar
:
Fatorando
:
Passo 5
Isolando
:
Simplificando:
Passo 6
Sabemos que
, então vamos calcular
:
Substituindo na expressão de
:
Passo 7
Agora, vamos derivar em relação a
. De forma similar, diferenciando ambos os lados da equação
em relação a
:
Passo 8
Rearranjando para isolar
:
Fatorando
:
Passo 9
Isolando
:
Simplificando:
Passo 10
Calculamos
. Sabemos que
, então:
Substituindo na expressão de
:
Resposta
As derivadas parciais são:
e
Exercícios relacionados
Seja
.
Encontre a inclinação da reta tangente à curva de interseção da superfície com o plano
, no ponto
.
Encontre a inclinação da reta tangente à curva de interseção da superfície
Considere a função dada por
Calcule
Determine
, para
definida implicitamnte por:
Determine o vetor gradiente da funçāo em
e a derivada direcional em
na direção do vetor
.
e