Determine as derivadas parciais indicadas:
partial zpartial u e partial zpartial v, para z=e^zx, com x=2 u cos v e y=4 u sen v

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar as derivadas parciais de em relação a e . A função dada é , onde e . Para resolver isso, vamos precisar usar a derivação implícita e a regra da cadeia. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, observe que está definido de forma implícita em relação a . Isso significa que não temos diretamente como uma função explícita de , mas sim uma relação que envolve e . Para encontrar e , vamos derivar ambos os lados da equação em relação a e .

Passo 3

Vamos começar derivando em relação a partial zpartial u = e^zx ( 1x partial zpartial u - zx^2 partial xpartial u ) . Diferenciando ambos os lados da equação em relação a :
Aqui usamos a derivada da função composta e aplicamos a regra da cadeia.

Passo 4

Agora, vamos rearranjar a equação para isolar partial zpartial u - e^zx cdot 1x partial zpartial u = - e^zx cdot zx^2 partial xpartial u :
partial zpartial u (1 - e^zxx) = - e^zx zx^2 partial xpartial u
Fatorando :

Passo 5

Isolando partial zpartial u = - e^zx zx^2 partial xpartial u1 - e^zxx :
partial zpartial u = e^zx z partial xpartial ux^2 ( e^zxx - 1 )
Simplificando:

Passo 6

Sabemos que partial xpartial u = 2 cos v , então vamos calcular partial zpartial u = e^zx z cdot 2 cos vx^2 ( e^zxx - 1 ) :
Substituindo na expressão de :

Passo 7

Agora, vamos derivar em relação a partial zpartial v = e^zx ( 1x partial zpartial v - zx^2 partial xpartial v ) . De forma similar, diferenciando ambos os lados da equação em relação a :

Passo 8

Rearranjando para isolar partial zpartial v - e^zx cdot 1x partial zpartial v = - e^zx cdot zx^2 partial xpartial v :
partial zpartial v (1 - e^zxx) = - e^zx zx^2 partial xpartial v
Fatorando :

Passo 9

Isolando partial zpartial v = - e^zx zx^2 partial xpartial v1 - e^zxx :
partial zpartial v = e^zx z partial xpartial vx^2 ( e^zxx - 1 )
Simplificando:

Passo 10

Calculamos partial xpartial v = -2u sin v . Sabemos que partial zpartial v = e^zx z cdot (-2u sin v)x^2 ( e^zxx - 1 ) , então:
Substituindo na expressão de :

Resposta

As derivadas parciais são:
partial zpartial u = 2 e^zx z cos vx^2 ( e^zxx - 1 )
e
partial zpartial v = -2 e^zx z u sin vx^2 ( e^zxx - 1 )

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