Dado o campo
, pedem-se:
© O retrato de fase da EDO
na regi ao
.
© O retrato de fase da EDO
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) dada por
, onde
. O objetivo é desenhar o retrato de fase dessa EDO na região próxima a
. Ou seja, vamos analisar como a solução da EDO se comporta em torno desse ponto.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os pontos de equilíbrio da EDO. Os pontos de equilíbrio são os valores de
que satisfazem
, pois nesses pontos
, ou seja, a solução não muda.
A função cosseno é zero quando o seu argumento é
, onde
é um inteiro. Portanto:
Vamos resolver para
:
Isso nos dá os pontos de equilíbrio.
Passo 3
Agora, vamos analisar a estabilidade desses pontos de equilíbrio. Para isso, calculamos a derivada de
em relação a
:
No ponto de equilíbrio
, temos
, então
. Substituindo isso na derivada:
Sabemos que
. Então:
A estabilidade depende do sinal de
:
- Se
, o ponto é estável (nó ou foco atrator). - Se
, o ponto é instável (nó ou foco repulsor).
Passo 4
Vamos focar na região próxima a
. Calculamos
:
Como
, a direção do campo em
é para a esquerda (decrescente).
Agora, vamos verificar se
é próximo a algum ponto de equilíbrio. Resolvendo
para
:
Então,
está próximo de
, que é um ponto de equilíbrio.
Passo 5
Vamos analisar a derivada no ponto de equilíbrio
:
Como
, o ponto de equilíbrio é estável.
Passo 6
Com todas essas informações, podemos esboçar o retrato de fase na região próxima a
:
- Existe um ponto de equilíbrio estável em
. - Para
, é negativo, indicando que as soluções diminuem em direção ao ponto de equilíbrio. - Para
, pode ser positivo ou negativo dependendo do valor de , mas na região próxima a , já sabemos que está diminuindo em direção ao equilíbrio.
Resposta
O retrato de fase da EDO
na região próxima a
apresenta um ponto de equilíbrio estável em
. As soluções para
tendem a diminuir em direção a esse ponto de equilíbrio.
Exercícios relacionados
Fa, ca o diagrama de bifurca, c ao para a seguinte equa, c ao regida pelo parametro a:
a. Esboce os retratos de fase correspondentes a
e
.
Dado o campo
, pedem-se:
(a) O espa, co de fase da EDO .
(a) O espa, co de fase da EDO
Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe:
Considere a função dada por
Calcule