Dado o campo , pedem-se:
© O retrato de fase da EDO na regi ao .

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) dada por , onde . O objetivo é desenhar o retrato de fase dessa EDO na região próxima a . Ou seja, vamos analisar como a solução da EDO se comporta em torno desse ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os pontos de equilíbrio da EDO. Os pontos de equilíbrio são os valores de que satisfazem , pois nesses pontos , ou seja, a solução não muda.
A função cosseno é zero quando o seu argumento é , onde é um inteiro. Portanto:
Vamos resolver para :
Isso nos dá os pontos de equilíbrio.

Passo 3

Agora, vamos analisar a estabilidade desses pontos de equilíbrio. Para isso, calculamos a derivada de em relação a :
No ponto de equilíbrio , temos , então . Substituindo isso na derivada:
Sabemos que . Então:
A estabilidade depende do sinal de :
  • Se , o ponto é estável (nó ou foco atrator).
  • Se , o ponto é instável (nó ou foco repulsor).

Passo 4

Vamos focar na região próxima a . Calculamos :
Como , a direção do campo em é para a esquerda (decrescente).
Agora, vamos verificar se é próximo a algum ponto de equilíbrio. Resolvendo para :
Então, está próximo de , que é um ponto de equilíbrio.

Passo 5

Vamos analisar a derivada no ponto de equilíbrio :
Como , o ponto de equilíbrio é estável.

Passo 6

Com todas essas informações, podemos esboçar o retrato de fase na região próxima a :
  • Existe um ponto de equilíbrio estável em .
  • Para , é negativo, indicando que as soluções diminuem em direção ao ponto de equilíbrio.
  • Para , pode ser positivo ou negativo dependendo do valor de , mas na região próxima a , já sabemos que está diminuindo em direção ao equilíbrio.

Resposta

O retrato de fase da EDO na região próxima a apresenta um ponto de equilíbrio estável em . As soluções para tendem a diminuir em direção a esse ponto de equilíbrio.

Exercícios relacionados

Fa, ca o diagrama de bifurca, c ao para a seguinte equa, c ao regida pelo parametro a: a. Esboce os retratos de fase correspondentes a e .
Dado o campo , pedem-se:
(a) O espa, co de fase da EDO .
Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe:
Considere a função dada por
Calcule