Considere a função
dada por
Mostre que:
(a)
e
existem.
(b)
e
não são contínuas em
.
©
não é diferenciável em
.
(a)
(b)
©
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para analisar a função
definida por:
Nosso objetivo é resolver três partes:
a) Mostrar que as derivadas parciais
e
existem.
b) Demonstrar que essas derivadas e
não são contínuas em
.
c) Provar que a função não é diferenciável em
.
b) Demonstrar que essas derivadas
c) Provar que a função
Para resolver isso, vamos usar conceitos de derivadas parciais, continuidade e diferenciabilidade de funções de várias variáveis. Vamos passo a passo!
Passo 2
Vamos começar com a parte a): Mostrar que
e
existem.
Primeiro, precisamos lembrar como calcular uma derivada parcial. A derivada parcial de
em relação a
no ponto
é definida por:
E similarmente para
:
Vamos calcular cada uma dessas derivadas.
Passo 3
Calculando
:
Substituindo na definição:
Então,
Portanto,
existe e é igual a 0.
Passo 4
Calculando
:
Substituindo na definição:
Então,
Portanto,
também existe e é igual a 0.
Passo 5
Agora, vamos para a parte b): Mostrar que
e
não são contínuas em
.
Para isso, precisamos verificar a continuidade das derivadas parciais no ponto
. Uma função é contínua em um ponto se o limite quando nos aproximamos desse ponto é igual ao valor da função nesse ponto.
Primeiro, encontramos expressões gerais para
e
quando
.
Passo 6
Encontrando
e
para
:
Vamos derivar
em relação a
:
Usando a regra do quociente:
De maneira semelhante, derivando em relação a
:
Agora, vamos verificar os limites dessas expressões quando
se aproxima de
.
Passo 7
Verificando a continuidade de
em
:
Vamos analisar o limite de
quando
:
Vamos considerar diferentes caminhos para
se aproximar de
:
-
Caminho
: -
Caminho
: -
Caminho
onde é uma constante:
Quando
, esse limite tende a
a menos que
ou
. Portanto, o limite não é consistente e não existe de forma unificada.
Assim,
não possui um limite único em
, o que significa que
não é contínua em
.
Passo 8
Verificando a continuidade de
em
:
Agora, vamos analisar o limite de
quando
:
Vamos considerar diferentes caminhos para
se aproximar de
:
-
Caminho
: -
Caminho
: -
Caminho
onde é uma constante:
Quando
, esse limite tende a
a menos que
. Portanto, o limite não é consistente e não existe de forma unificada.
Assim,
também não possui um limite único em
, o que significa que
não é contínua em
.
Passo 9
Finalmente, vamos para a parte c): Demonstrar que
não é diferenciável em
.
Para uma função ser diferenciável em um ponto, ela precisa ter derivadas parciais contínuas nesse ponto e a aproximação linear deve ser uma boa aproximação da função perto desse ponto.
Como já vimos na parte b), as derivadas parciais
e
não são contínuas em
. A falta de continuidade das derivadas parciais implica que a função
não é diferenciável em
.
Resposta
Portanto:
a) As derivadas parciais
e
existem e são iguais a 0.
b) As derivadas e
não são contínuas em
.
c) A função não é diferenciável em
.
b) As derivadas
c) A função
Exercícios relacionados
Dada a função
, com
, determine:
(a) A direção e sentido em que cresce mais rapidamente no ponto (1,0).
(b) A direção e sentido em que decresce mais rapidamente no ponto
.
© As direções em que a derivada direcional de no ponto
tem valor 1.
(a) A direção e sentido em que
(b) A direção e sentido em que
© As direções em que a derivada direcional de
Considere a função
e o ponto
. Determine:
(a) A taxa de variação de em
na direção do vetor
.
(b) A taxa de variação de em
na direção do vetor tangente a curva
em
.
© A direção na qual a taxa de variação de em
é máxima.
(a) A taxa de variação de
(b) A taxa de variação de
© A direção na qual a taxa de variação de
Use o teorema do valor Intermediário para mostrar que existe uma solução para a equação
Dica: Pense no intervalo
.
Seja
uma função satisfazendo
Mostre que
é diferenciável em
.