Considere a função f: R^2 -> R dada por
f(x, y) = { (x * y) / (x^2 + y^2), se (x, y) ≠ (0, 0) ; 0, se (x, y) = (0, 0) }
Mostre que:
(a) fx(0,0) e f_y(0,0) existem.
(b) fx e fy não são contínuas em (0,0).
© f não é diferenciável em (0,0).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para analisar a função definida por:
Nosso objetivo é resolver três partes:
a) Mostrar que as derivadas parciais e existem.
b) Demonstrar que essas derivadas e não são contínuas em .
c) Provar que a função não é diferenciável em .
Para resolver isso, vamos usar conceitos de derivadas parciais, continuidade e diferenciabilidade de funções de várias variáveis. Vamos passo a passo!

Passo 2

Vamos começar com a parte a): Mostrar que e existem.
Primeiro, precisamos lembrar como calcular uma derivada parcial. A derivada parcial de em relação a no ponto é definida por:
E similarmente para :
Vamos calcular cada uma dessas derivadas.

Passo 3

Calculando :
Substituindo na definição:
Então,
Portanto, existe e é igual a 0.

Passo 4

Calculando :
Substituindo na definição:
Então,
Portanto, também existe e é igual a 0.

Passo 5

Agora, vamos para a parte b): Mostrar que e não são contínuas em .
Para isso, precisamos verificar a continuidade das derivadas parciais no ponto . Uma função é contínua em um ponto se o limite quando nos aproximamos desse ponto é igual ao valor da função nesse ponto.
Primeiro, encontramos expressões gerais para e quando .

Passo 6

Encontrando e para :
Vamos derivar em relação a :
Usando a regra do quociente:
De maneira semelhante, derivando em relação a :
Agora, vamos verificar os limites dessas expressões quando se aproxima de .

Passo 7

Verificando a continuidade de em :
Vamos analisar o limite de quando :
Vamos considerar diferentes caminhos para se aproximar de :
  1. Caminho :
  2. Caminho :
  3. Caminho onde é uma constante:
Quando , esse limite tende a a menos que ou . Portanto, o limite não é consistente e não existe de forma unificada.
Assim, não possui um limite único em , o que significa que não é contínua em .

Passo 8

Verificando a continuidade de em :
Agora, vamos analisar o limite de quando :
Vamos considerar diferentes caminhos para se aproximar de :
  1. Caminho :
  2. Caminho :
  3. Caminho onde é uma constante:
Quando , esse limite tende a a menos que . Portanto, o limite não é consistente e não existe de forma unificada.
Assim, também não possui um limite único em , o que significa que não é contínua em .

Passo 9

Finalmente, vamos para a parte c): Demonstrar que não é diferenciável em .
Para uma função ser diferenciável em um ponto, ela precisa ter derivadas parciais contínuas nesse ponto e a aproximação linear deve ser uma boa aproximação da função perto desse ponto.
Como já vimos na parte b), as derivadas parciais e não são contínuas em . A falta de continuidade das derivadas parciais implica que a função não é diferenciável em .

Resposta

Portanto:
a) As derivadas parciais e existem e são iguais a 0.
b) As derivadas e não são contínuas em .
c) A função não é diferenciável em .

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