Dada a função f(x, y) = x^2 + sen(x y), com (x, y) em R^2, determine:
(a) A direção e sentido em que f(x, y) cresce mais rapidamente no ponto (1,0).
(b) A direção e sentido em que f(x, y) decresce mais rapidamente no ponto 1,0.
© As direções em que a derivada direcional de f(x, y) no ponto 1,0 tem valor 1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função definida para qualquer ponto no plano. A questão pede pra gente descobrir algumas coisas sobre como essa função muda no ponto específico . Vamos precisar entender um pouco sobre gradiente e derivadas direcionais pra resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos achar o gradiente da função . O gradiente é um vetor que aponta na direção onde a função cresce mais rapidamente e a gente calcula derivando parcialmente em relação a e .
A derivada parcial em relação a é:
E a derivada parcial em relação a é:
Agora, avaliando no ponto :
Então, o gradiente no ponto é:

Passo 3

Parte (a): A direção e sentido em que cresce mais rapidamente no ponto é justamente a direção do gradiente. Então, a direção é dada pelo vetor , e o sentido é no sentido desse vetor.
Para deixar a direção como um vetor unitário (de comprimento 1), a gente normaliza o gradiente:
çã

Passo 4

Parte (b): A direção em que decresce mais rapidamente é exatamente o sentido oposto ao gradiente. Então, a direção é o vetor .
Novamente, normalizando para ter um vetor unitário:
çã

Passo 5

Parte ©: Queremos as direções onde a derivada direcional é igual a 1 no ponto . A derivada direcional numa direção é dada por:
Queremos que:
Além disso, deve ser um vetor unitário, então:
Resolvendo esse sistema, encontramos as direções que satisfazem a condição.

Resposta

(a) A função cresce mais rapidamente na direção do vetor .
(b) A função decresce mais rapidamente na direção do vetor .
© As direções onde a derivada direcional é 1 são dadas pelos vetores que satisfazem e . Resolvendo, encontramos duas direções específicas.

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