Dada a função , com , determine:
(a) A direção e sentido em que cresce mais rapidamente no ponto (1,0).
(b) A direção e sentido em que decresce mais rapidamente no ponto .
© As direções em que a derivada direcional de no ponto tem valor 1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função definida para qualquer ponto no plano. A questão pede pra gente descobrir algumas coisas sobre como essa função muda no ponto específico . Vamos precisar entender um pouco sobre gradiente e derivadas direcionais pra resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos achar o gradiente da função . O gradiente é um vetor que aponta na direção onde a função cresce mais rapidamente e a gente calcula derivando parcialmente em relação a e .
A derivada parcial em relação a é:
E a derivada parcial em relação a é:
Agora, avaliando no ponto :
Então, o gradiente no ponto é:

Passo 3

Parte (a): A direção e sentido em que cresce mais rapidamente no ponto é justamente a direção do gradiente. Então, a direção é dada pelo vetor , e o sentido é no sentido desse vetor.
Para deixar a direção como um vetor unitário (de comprimento 1), a gente normaliza o gradiente:
çã

Passo 4

Parte (b): A direção em que decresce mais rapidamente é exatamente o sentido oposto ao gradiente. Então, a direção é o vetor .
Novamente, normalizando para ter um vetor unitário:
çã

Passo 5

Parte ©: Queremos as direções onde a derivada direcional é igual a 1 no ponto . A derivada direcional numa direção é dada por:
Queremos que:
Além disso, deve ser um vetor unitário, então:
Resolvendo esse sistema, encontramos as direções que satisfazem a condição.

Resposta

(a) A função cresce mais rapidamente na direção do vetor .
(b) A função decresce mais rapidamente na direção do vetor .
© As direções onde a derivada direcional é 1 são dadas pelos vetores que satisfazem e . Resolvendo, encontramos duas direções específicas.

Exercícios relacionados

Considere a função e o ponto . Determine:
(a) A taxa de variação de em na direção do vetor .
(b) A taxa de variação de em na direção do vetor tangente a curva em .
© A direção na qual a taxa de variação de em é máxima.
(Exercício 26 da Lista 3) Considere a função .
(a) Encontre a aproximação linear de para no ponto .
(b) Obtenha o valor aproximado de . Faça a análise sem o uso da calculadora e depois use-a para comparar seu resultado.
Considere a função dada por
Mostre que:
(a) e existem.
(b) e não são contínuas em .
© não é diferenciável em .
Use o teorema do valor Intermediário para mostrar que existe uma solução para a equação Dica: Pense no intervalo .