Dada a função
, com
, determine:
(a) A direção e sentido em que
cresce mais rapidamente no ponto (1,0).
(b) A direção e sentido em que
decresce mais rapidamente no ponto
.
© As direções em que a derivada direcional de
no ponto
tem valor 1.
(a) A direção e sentido em que
(b) A direção e sentido em que
© As direções em que a derivada direcional de
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função definida para qualquer ponto
no plano. A questão pede pra gente descobrir algumas coisas sobre como essa função muda no ponto específico
. Vamos precisar entender um pouco sobre gradiente e derivadas direcionais pra resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos achar o gradiente da função
. O gradiente é um vetor que aponta na direção onde a função cresce mais rapidamente e a gente calcula derivando parcialmente em relação a
e
.
A derivada parcial em relação a
é:
E a derivada parcial em relação a
é:
Agora, avaliando no ponto
:
Então, o gradiente no ponto
é:
Passo 3
Parte (a): A direção e sentido em que
cresce mais rapidamente no ponto
é justamente a direção do gradiente. Então, a direção é dada pelo vetor
, e o sentido é no sentido desse vetor.
Para deixar a direção como um vetor unitário (de comprimento 1), a gente normaliza o gradiente:
Passo 4
Parte (b): A direção em que
decresce mais rapidamente é exatamente o sentido oposto ao gradiente. Então, a direção é o vetor
.
Novamente, normalizando para ter um vetor unitário:
Passo 5
Parte ©: Queremos as direções onde a derivada direcional é igual a 1 no ponto
. A derivada direcional
numa direção
é dada por:
Queremos que:
Além disso,
deve ser um vetor unitário, então:
Resolvendo esse sistema, encontramos as direções que satisfazem a condição.
Resposta
(a) A função cresce mais rapidamente na direção do vetor
.
(b) A função decresce mais rapidamente na direção do vetor
.
© As direções onde a derivada direcional é 1 são dadas pelos vetores que satisfazem
e
. Resolvendo, encontramos duas direções específicas.