Considere a função
e o ponto
. Determine:
(a) A taxa de variação de
em
na direção do vetor
.
(b) A taxa de variação de
em
na direção do vetor tangente a curva
em
.
© A direção na qual a taxa de variação de
em
é máxima.
(a) A taxa de variação de
(b) A taxa de variação de
© A direção na qual a taxa de variação de
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função
e o ponto
. O que precisamos fazer aqui envolve cálculo multivariável, especificamente derivadas parciais e derivadas direcionais. Vou te guiar passo a passo para resolver cada uma das partes do exercício.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a taxa de variação de uma função em uma direção específica. Basicamente, ela nos diz como a função está mudando naquele ponto na direção escolhida. Para isso, a gente vai usar o gradiente da função, que é um vetor formado pelas derivadas parciais da função em relação a
e
.
Passo 3
Vamos calcular o gradiente da função
. As derivadas parciais são:
Então, o gradiente
é:
Passo 4
Agora, vamos calcular o gradiente no ponto
:
Passo 5
Para encontrar a taxa de variação na direção do vetor
(parte a do exercício), precisamos primeiro normalizar esse vetor, ou seja, transformá-lo em um vetor unitário. A normalização é feita dividindo o vetor pela sua magnitude.
A magnitude de
é:
Então, o vetor unitário
na direção de
é:
Passo 6
A taxa de variação direcional é o produto escalar do gradiente com o vetor unitário na direção desejada. Ou seja:
Passo 7
Agora, para a parte (b), precisamos encontrar a taxa de variação na direção do vetor tangente à curva
no ponto
.
Primeiro, vamos encontrar o vetor tangente à curva em
. Derivando
em relação a
:
No ponto
:
Passo 8
Normalizamos o vetor tangente
:
Passo 9
A taxa de variação direcional nessa direção é:
Passo 10
Finalmente, para a parte ©, queremos a direção na qual a taxa de variação de
é máxima. Isso acontece na direção do gradiente da função. Portanto, a direção é o próprio gradiente
.
Para obter um vetor unitário nessa direção:
Resposta
(a) A taxa de variação de
em
na direção do vetor
é
.
(b) A taxa de variação de
em
na direção do vetor tangente à curva
em
é
.
© A direção na qual a taxa de variação de
em
é máxima é
.