Considere a função f(x, y) = x^2 + y^2 - 2y e o ponto P = (2, 2). Determine:
(a) A taxa de variação de f em P na direção do vetor 1,1.
(b) A taxa de variação de f em P na direção do vetor tangente a curva g(t) = (t, t^2 - t) em (3,6).
© A direção na qual a taxa de variação de f em P é máxima.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função e o ponto . O que precisamos fazer aqui envolve cálculo multivariável, especificamente derivadas parciais e derivadas direcionais. Vou te guiar passo a passo para resolver cada uma das partes do exercício.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a taxa de variação de uma função em uma direção específica. Basicamente, ela nos diz como a função está mudando naquele ponto na direção escolhida. Para isso, a gente vai usar o gradiente da função, que é um vetor formado pelas derivadas parciais da função em relação a e .

Passo 3

Vamos calcular o gradiente da função . As derivadas parciais são:
Então, o gradiente é:

Passo 4

Agora, vamos calcular o gradiente no ponto :

Passo 5

Para encontrar a taxa de variação na direção do vetor (parte a do exercício), precisamos primeiro normalizar esse vetor, ou seja, transformá-lo em um vetor unitário. A normalização é feita dividindo o vetor pela sua magnitude.
A magnitude de é:
Então, o vetor unitário na direção de é:

Passo 6

A taxa de variação direcional é o produto escalar do gradiente com o vetor unitário na direção desejada. Ou seja:

Passo 7

Agora, para a parte (b), precisamos encontrar a taxa de variação na direção do vetor tangente à curva no ponto .
Primeiro, vamos encontrar o vetor tangente à curva em . Derivando em relação a :
No ponto :

Passo 8

Normalizamos o vetor tangente :

Passo 9

A taxa de variação direcional nessa direção é:

Passo 10

Finalmente, para a parte ©, queremos a direção na qual a taxa de variação de é máxima. Isso acontece na direção do gradiente da função. Portanto, a direção é o próprio gradiente .
Para obter um vetor unitário nessa direção:
á

Resposta

(a) A taxa de variação de em na direção do vetor é .
(b) A taxa de variação de em na direção do vetor tangente à curva em é .
© A direção na qual a taxa de variação de em é máxima é .

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