Considere a função f: R^2 R dada por
f(x, y)=cc (x^2+y^2) sin (1x^2+y^2), & se (x, y) neq(0,0) 0, & se (x, y)=(0,0)
Mostre que:
(a) fx(0,0) e fy(0,0) existem.
(b) fx e fy não são contínuas em (0,0).
© f é diferenciável em (0,0).

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma função f(x, y) = (x^2+y^2) sin (1x^2+y^2), & se (x, y) neq (0,0) 0, & se (x, y) = (0,0) definida por:
A questão tem três partes:
a) Mostrar que as derivadas parciais e existem.
b) Mostrar que e não são contínuas em .
c) Mostrar que é diferenciável em .
Vamos resolver cada uma dessas partes passo a passo.

Passo 2

Parte a: Encontrar fx(0,0) = limh to 0 f(h,0) - f(0,0)h e f(h,0) = (h^2 + 0^2) sin(1h^2) = h^2 sin(1h^2)
Primeiro, vamos entender como calcular as derivadas parciais no ponto fx(0,0) = limh to 0 h^2 sin(1h^2)h = limh to 0 h sin(1h^2) . A derivada parcial de - h <= h sin(1h^2) <= h em relação a em é definida por:
Vamos substituir os valores:
E sabemos que . Então,
Sabemos que está sempre entre -1 e 1, ou seja, . Multiplicando por :
Quando , tanto quanto tendem a 0. Pelo Teorema do Sandwich, o limite também é 0.
Portanto, . O mesmo raciocínio se aplica para , já que a função é simétrica em e .

Passo 3

Parte b: Mostrar que fx(x,y) = partialpartial x [ (x^2+y^2) sin(1x^2+y^2) ] e fx(x,y) = 2x sin(1x^2+y^2) - 2xx^2+y^2 cos(1x^2+y^2) não são contínuas em
Para mostrar que as derivadas parciais não são contínuas em , precisamos verificar o comportamento delas próximas a esse ponto.
Primeiro, encontramos as derivadas parciais para :
Aplicando a regra do produto:
Observe que, próximo a , o termo pode crescer sem limite, já que tende a 0 e oscila entre -1 e 1. Assim, não tende a 0 quando , mesmo sabendo que .
Portanto, não é contínua em . O mesmo vale para pela simetria da função.

Passo 4

Parte c: Mostrar que lim(h,k) to (0,0) f(h,k) - f(0,0) - fx(0,0)h - fy(0,0)kraizh^2+k^2 = 0 é diferenciável em lim(h,k) to (0,0) f(h,k)raizh^2+k^2 = lim(h,k) to (0,0) (h^2+k^2) sin(1h^2+k^2)raizh^2+k^2 = lim(h,k) to (0,0) raizh^2+k^2 sin(1h^2+k^2)
Para verificar se - raizh^2+k^2 <= raizh^2+k^2 sin(1h^2+k^2) <= raizh^2+k^2 é diferenciável em , precisamos mostrar que a aproximação linear da função em torno de é uma boa aproximação, ou seja:
Sabemos que , e . Então, a expressão simplifica para:
Novamente, como está entre -1 e 1:
Quando , . Pelo Teorema do Sandwich, o limite também é 0.
Portanto, é diferenciável em .

Resposta

(a) As derivadas parciais e existem e são iguais a 0.
(b) As derivadas parciais e não são contínuas no ponto .
© A função é diferenciável em .

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