Considere a função
dada por
Mostre que:
(a)
e
existem.
(b)
e
não são contínuas em
.
©
é diferenciável em
.
(a)
(b)
©
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma função
definida por:
A questão tem três partes:
a) Mostrar que as derivadas parciais
e
existem.
b) Mostrar que
e
não são contínuas em
.
c) Mostrar que
é diferenciável em
.
Vamos resolver cada uma dessas partes passo a passo.
Passo 2
Parte a: Encontrar
e
Primeiro, vamos entender como calcular as derivadas parciais no ponto
. A derivada parcial de
em relação a
em
é definida por:
Vamos substituir os valores:
E sabemos que
. Então,
Sabemos que
está sempre entre -1 e 1, ou seja,
. Multiplicando por
:
Quando
, tanto
quanto
tendem a 0. Pelo Teorema do Sandwich, o limite também é 0.
Portanto,
. O mesmo raciocínio se aplica para
, já que a função é simétrica em
e
.
Passo 3
Parte b: Mostrar que
e
não são contínuas em
Para mostrar que as derivadas parciais não são contínuas em
, precisamos verificar o comportamento delas próximas a esse ponto.
Primeiro, encontramos as derivadas parciais para
:
Aplicando a regra do produto:
Observe que, próximo a
, o termo
pode crescer sem limite, já que
tende a 0 e
oscila entre -1 e 1. Assim,
não tende a 0 quando
, mesmo sabendo que
.
Portanto,
não é contínua em
. O mesmo vale para
pela simetria da função.
Passo 4
Parte c: Mostrar que
é diferenciável em
Para verificar se
é diferenciável em
, precisamos mostrar que a aproximação linear da função em torno de
é uma boa aproximação, ou seja:
Sabemos que
,
e
. Então, a expressão simplifica para:
Novamente, como
está entre -1 e 1:
Quando
,
. Pelo Teorema do Sandwich, o limite também é 0.
Portanto,
é diferenciável em
.
Resposta
(a) As derivadas parciais
e
existem e são iguais a 0.
(b) As derivadas parciais
e
não são contínuas no ponto
.
© A função
é diferenciável em
.
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arbitrariamente próximo de r a medida que
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- a reta
é uma assíntota horizontal: - a reta
é uma assíntota vertical: - a reta
é uma assíntota oblíqua(inclinada):
Encontre quaisquer assíntotas verticais e horizontais do gráfico da função
(a)
(b)
(a) Escreva a Regra da Cadeia para o caso
(b) Utilize o item (a) para determinar as derivadas parciais
se