Considere a função dada por
Mostre que:
(a) e existem.
(b) e não são contínuas em .
© é diferenciável em .

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma função definida por:
A questão tem três partes:
a) Mostrar que as derivadas parciais e existem.
b) Mostrar que e não são contínuas em .
c) Mostrar que é diferenciável em .
Vamos resolver cada uma dessas partes passo a passo.

Passo 2

Parte a: Encontrar e
Primeiro, vamos entender como calcular as derivadas parciais no ponto . A derivada parcial de em relação a em é definida por:
Vamos substituir os valores:
E sabemos que . Então,
Sabemos que está sempre entre -1 e 1, ou seja, . Multiplicando por :
Quando , tanto quanto tendem a 0. Pelo Teorema do Sandwich, o limite também é 0.
Portanto, . O mesmo raciocínio se aplica para , já que a função é simétrica em e .

Passo 3

Parte b: Mostrar que e não são contínuas em
Para mostrar que as derivadas parciais não são contínuas em , precisamos verificar o comportamento delas próximas a esse ponto.
Primeiro, encontramos as derivadas parciais para :
Aplicando a regra do produto:
Observe que, próximo a , o termo pode crescer sem limite, já que tende a 0 e oscila entre -1 e 1. Assim, não tende a 0 quando , mesmo sabendo que .
Portanto, não é contínua em . O mesmo vale para pela simetria da função.

Passo 4

Parte c: Mostrar que é diferenciável em
Para verificar se é diferenciável em , precisamos mostrar que a aproximação linear da função em torno de é uma boa aproximação, ou seja:
Sabemos que , e . Então, a expressão simplifica para:
Novamente, como está entre -1 e 1:
Quando , . Pelo Teorema do Sandwich, o limite também é 0.
Portanto, é diferenciável em .

Resposta

(a) As derivadas parciais e existem e são iguais a 0.
(b) As derivadas parciais e não são contínuas no ponto .
© A função é diferenciável em .

Exercícios relacionados

Esboce o gráfico das seguintes funções:
Expresse a quantidade dada como um único logaritmo:
Considere a seguinte definição:
Definição: Diremos que uma reta r é uma assíntota do gráfico de uma função quando o gráfico de arbitrariamente próximo de r a medida que ou . São três tipos de assíntota:
  • a reta é uma assíntota horizontal:
  • a reta é uma assíntota vertical:
  • a reta é uma assíntota oblíqua(inclinada):
    Encontre quaisquer assíntotas verticais e horizontais do gráfico da função
    (a)
    (b)
(a) Escreva a Regra da Cadeia para o caso
(b) Utilize o item (a) para determinar as derivadas parciais se