Considere a função f(x, y) dada por f(x, y)=lx^3-y^3x^2+y^2 se (x, y) neq(0,0) 0 se (x, y)=(0,0)
Determine o maior conjunto de pontos para os quais f é contínua. Justifique.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função definida de duas maneiras: uma para qualquer ponto diferente de e outra especificamente para o ponto . O conteúdo que vamos usar aqui é continuidade de funções de duas variáveis. Para resolver, vamos precisar saber como verificar se uma função é contínua em um ponto, ou seja, se o limite da função quando se aproxima desse ponto é igual ao valor da função no ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a continuidade da função f(x, y) = x^3 - y^3x^2 + y^2 em todos os pontos diferentes de . Quando , a função é dada por:
Aqui, o denominador nunca é zero, já que . Isso significa que a função está bem definida e, além disso, é uma combinação de funções polinomiais que são contínuas em todo lugar onde estão definidas. Portanto, é contínua em todos os pontos diferentes de .

Passo 3

Agora, o ponto chave da questão é verificar a continuidade no ponto lim(x, y) to (0,0) x^3 - y^3x^2 + y^2 . Para isso, precisamos calcular o limite da função f(x, 0) = x^3x^2 = x e limx to 0 x = 0 quando f(0, y) = -y^3y^2 = -y e limy to 0 -y = 0 se aproxima de f(x, x) = x^3 - x^3x^2 + x^2 = 0 e limx to 0 0 = 0 e ver se esse limite é igual a , que é 0.
Vamos calcular:
Para simplificar, podemos considerar diferentes caminhos pelos quais se aproxima de :
  1. Caminho :
  1. Caminho :
  1. Caminho :
Em todos esses caminhos, o limite é 0, que é igual a . Isso sugere que o limite existe e é igual a 0, indicando que a função é contínua em .

Passo 4

Como verificamos que a função é contínua em todos os pontos e também em , concluímos que a função é contínua em todo o plano .

Resposta

O maior conjunto de pontos para os quais é contínua é todo o plano .

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