Considere a função
dada por
Determine o maior conjunto de pontos para os quais
é contínua. Justifique.
Determine o maior conjunto de pontos para os quais
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função
definida de duas maneiras: uma para qualquer ponto
diferente de
e outra especificamente para o ponto
. O conteúdo que vamos usar aqui é continuidade de funções de duas variáveis. Para resolver, vamos precisar saber como verificar se uma função é contínua em um ponto, ou seja, se o limite da função quando
se aproxima desse ponto é igual ao valor da função no ponto.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a continuidade da função
em todos os pontos diferentes de
. Quando
, a função é dada por:
Aqui, o denominador
nunca é zero, já que
. Isso significa que a função está bem definida e, além disso, é uma combinação de funções polinomiais que são contínuas em todo lugar onde estão definidas. Portanto,
é contínua em todos os pontos
diferentes de
.
Passo 3
Agora, o ponto chave da questão é verificar a continuidade no ponto
. Para isso, precisamos calcular o limite da função
quando
se aproxima de
e ver se esse limite é igual a
, que é 0.
Vamos calcular:
Para simplificar, podemos considerar diferentes caminhos pelos quais
se aproxima de
:
- Caminho
:
- Caminho
:
- Caminho
:
Em todos esses caminhos, o limite é 0, que é igual a
. Isso sugere que o limite existe e é igual a 0, indicando que a função é contínua em
.
Passo 4
Como verificamos que a função
é contínua em todos os pontos
e também em
, concluímos que a função é contínua em todo o plano
.
Resposta
O maior conjunto de pontos para os quais
é contínua é todo o plano
.