Encontre os valores máximo e mínimo absolutos da função
no quadrado
e
.
Passo 1
Entendendo o Problema e o Conteúdo Envolvido
Vamos resolver o exercício que pede para encontrar os valores máximo e mínimo absolutos da função
no quadrado
.
Conteúdo Envolvido:
- Cálculo de Derivadas Parciais: Para encontrar os pontos críticos da função dentro do domínio
. - Análise nas Fronteiras: Verificar os valores da função nas bordas do quadrado
. - Comparação de Valores: Determinar quais desses valores são os máximos e mínimos absolutos.
Vamos precisar usar derivadas parciais para encontrar os pontos onde a função pode ter extremos internos e analisar cuidadosamente cada borda do quadrado para garantir que encontramos todos os possíveis valores máximos e mínimos.
Passo 2
Encontrando os Pontos Críticos Internos
Primeiro, vamos encontrar os pontos dentro do quadrado
onde a função pode ter máximos ou mínimos. Para isso, calculamos as derivadas parciais de
em relação a
e
e as igualamos a zero.
As derivadas parciais são:
Agora, igualamos ambas a zero:
Resolvendo a equação (2) para
:
Substituindo
na equação (1):
Então,
ou
.
Se
, então
.
Se
, então
.
Portanto, os pontos críticos internos são
e
.
Passo 3
Analisando as Fronteiras do Quadrado
Além dos pontos críticos internos, devemos verificar os valores da função nas bordas do quadrado
. As bordas são definidas por:
-
, com -
, com -
, com -
, com
Vamos analisar cada uma dessas situações:
1. Quando
:
A função se torna:
Para
, o mínimo ocorre em
e o máximo em
:
2. Quando
:
A função se torna:
Essa é uma função quadrática em
. Para encontrar os extremos, completamos o quadrado ou encontramos o vértice:
Então, analisamos em
e
:
3. Quando
:
A função se torna:
Para
:
4. Quando
:
A função se torna:
Essa é uma função cúbica em
. Encontramos os extremos derivando em relação a
:
Como
está entre 0 e 2, avaliamos em
,
e
:
Passo 4
Comparando Todos os Valores Encontrados
Agora, vamos reunir todos os valores que obtivemos:
-
Pontos Críticos Internos:
-
-
Fronteiras:
-
Organizando os Valores:
Resposta
Os valores máximos e mínimos absolutos da função
no quadrado
são:
- Máximo absoluto:
, atingido no ponto . - Mínimo absoluto:
, atingido no ponto .