Encontre os valores máximo e mínimo absolutos da função f(x, y) = 4 x^3 + 9 y^2 - 18 x y no quadrado K = {(x, y) in R^2 : 0 <= x <= 2} e 0 <= y <= 2.

Passo 1

Entendendo o Problema e o Conteúdo Envolvido
Vamos resolver o exercício que pede para encontrar os valores máximo e mínimo absolutos da função no quadrado .
Conteúdo Envolvido:
  • Cálculo de Derivadas Parciais: Para encontrar os pontos críticos da função dentro do domínio .
  • Análise nas Fronteiras: Verificar os valores da função nas bordas do quadrado .
  • Comparação de Valores: Determinar quais desses valores são os máximos e mínimos absolutos.
Vamos precisar usar derivadas parciais para encontrar os pontos onde a função pode ter extremos internos e analisar cuidadosamente cada borda do quadrado para garantir que encontramos todos os possíveis valores máximos e mínimos.

Passo 2

Encontrando os Pontos Críticos Internos
Primeiro, vamos encontrar os pontos dentro do quadrado onde a função pode ter máximos ou mínimos. Para isso, calculamos as derivadas parciais de em relação a e e as igualamos a zero.
As derivadas parciais são:
Agora, igualamos ambas a zero:
Resolvendo a equação (2) para :
Substituindo na equação (1):
Então, ou .
Se , então .
Se , então .
Portanto, os pontos críticos internos são e .

Passo 3

Analisando as Fronteiras do Quadrado
Além dos pontos críticos internos, devemos verificar os valores da função nas bordas do quadrado . As bordas são definidas por:
  1. , com
  2. , com
  3. , com
  4. , com
Vamos analisar cada uma dessas situações:
1. Quando :
A função se torna:
Para , o mínimo ocorre em e o máximo em :
2. Quando :
A função se torna:
Essa é uma função quadrática em . Para encontrar os extremos, completamos o quadrado ou encontramos o vértice:
é
Então, analisamos em e :
3. Quando :
A função se torna:
Para :
4. Quando :
A função se torna:
Essa é uma função cúbica em . Encontramos os extremos derivando em relação a :
Como está entre 0 e 2, avaliamos em , e :

Passo 4

Comparando Todos os Valores Encontrados
Agora, vamos reunir todos os valores que obtivemos:
  • Pontos Críticos Internos:
  • Fronteiras:
Organizando os Valores:

Resposta

Os valores máximos e mínimos absolutos da função no quadrado são:
  • Máximo absoluto: , atingido no ponto .
  • Mínimo absoluto: , atingido no ponto .

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