Considere a função
dada por
A função
é diferenciável em
? Justifique.
A função
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem uma função
que vai de
para
. A pergunta é: essa função é diferenciável no ponto
? Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente sobre diferenciabilidade de funções de várias variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser diferenciável em um ponto. Uma função
é diferenciável em um ponto se ela pode ser aproximada por uma função linear perto desse ponto. Na prática, isso quer dizer que as derivadas parciais de
existem e são contínuas nesse ponto.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais da função
. Podemos reescrever a função como
.
A derivada parcial em relação a
é:
E a derivada parcial em relação a
é:
Passo 4
Agora, vamos avaliar essas derivadas no ponto
.
Para
:
Para
:
Passo 5
Precisamos verificar se essas derivadas são contínuas no ponto
. Observando as expressões, vemos que para
próximos a
, o termo
não se aproxima de zero, então as derivadas são bem definidas e contínuas nesse ponto.
Resposta
Sim, a função
é diferenciável no ponto
.
Exercícios relacionados
Use a fórmula da adição para cosseno e as identidades
para demonstrar a fórmula da subtração para a função seno.
Considere a função
dada por
(a) Qual o domínio de ?
(a) Qual o domínio de
Encontre os valores máximo e mínimo absolutos da função
no quadrado
e
.
Considere a função
dada por
Determine o maior conjunto de pontos para os quais é contínua. Justifique.
Determine o maior conjunto de pontos para os quais