Considere a função f: R^2 -> R dada por f(x, y) = raiz cúbica(x * y)
A função f é diferenciável em 1,2 ? Justifique.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem uma função que vai de para . A pergunta é: essa função é diferenciável no ponto ? Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente sobre diferenciabilidade de funções de várias variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser diferenciável em um ponto. Uma função é diferenciável em um ponto se ela pode ser aproximada por uma função linear perto desse ponto. Na prática, isso quer dizer que as derivadas parciais de existem e são contínuas nesse ponto.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais da função . Podemos reescrever a função como .
A derivada parcial em relação a é:
E a derivada parcial em relação a é:

Passo 4

Agora, vamos avaliar essas derivadas no ponto .
Para :
Para :

Passo 5

Precisamos verificar se essas derivadas são contínuas no ponto . Observando as expressões, vemos que para próximos a , o termo não se aproxima de zero, então as derivadas são bem definidas e contínuas nesse ponto.

Resposta

Sim, a função é diferenciável no ponto .

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