Obtenha os valores máximo e mínimo absolutos da função
no disco unitário
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os valores máximo e mínimo absolutos da função
dentro do disco unitário
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, como derivadas parciais e análise de extremos em regiões fechadas.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos da função dentro do disco. Para isso, calculamos as derivadas parciais de
em relação a
e
e igualamos a zero.
A derivada parcial em relação a
:
A derivada parcial em relação a
:
Passo 3
Agora, igualamos as derivadas parciais a zero para encontrar os pontos críticos:
Da primeira equação, temos que ou
ou
.
Passo 4
Vamos analisar os casos:
-
Se
:
Substituindo na segunda equação:Então, temos o ponto crítico. -
Se
:
Substituindo na segunda equação:Novamente, o ponto crítico é.
Passo 5
Agora, vamos calcular o valor da função no ponto crítico encontrado:
Passo 6
Além dos pontos críticos internos, precisamos verificar os valores da função na fronteira do disco, ou seja, no círculo
. Para isso, podemos usar o método de parametrização. Vamos parametrizar o círculo usando
:
onde
varia de
a
.
Passo 7
Substituindo
e
na função:
Passo 8
Vamos simplificar a expressão usando identidades trigonométricas:
Sabemos que
, então:
Passo 9
Para encontrar os extremos nessa expressão, derivamos em relação a
e igualamos a zero:
Então, temos duas possibilidades:
Passo 10
Resolvendo cada caso:
-
Se
: Calculandonesses pontos: -
Se
:
Resolvemos a equação quadrática para: Usando a fórmula de Bhaskara:Assim:Já vimos quejá foi considerada. Para, calculamos :
Passo 11
Agora, resumindo os valores encontrados:
- Ponto interno
: - Ponto na fronteira
e : - Ponto na fronteira
:
Resposta
O valor máximo absoluto da função é aproximadamente
e o valor mínimo absoluto é
no disco unitário.
Exercícios relacionados
Determine as derivadas parciais indicadas.
.
Considere a função
dada por
Determine o maior conjunto de pontos para os quais é contínua. Justifique.
Determine o maior conjunto de pontos para os quais
Determine as derivadas parciais indicadas.
(f) .
(f)
Marque os pontos cujas coordenadas polares são dadas. A seguir, encontre dois outros pares de coordenadas polares desse ponto, um com
e o outro com
.
(a)
(a)