Obtenha os valores máximo e mínimo absolutos da função no disco unitário .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os valores máximo e mínimo absolutos da função dentro do disco unitário . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, como derivadas parciais e análise de extremos em regiões fechadas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos da função dentro do disco. Para isso, calculamos as derivadas parciais de em relação a e e igualamos a zero.
A derivada parcial em relação a :
A derivada parcial em relação a :

Passo 3

Agora, igualamos as derivadas parciais a zero para encontrar os pontos críticos:
Da primeira equação, temos que ou ou .

Passo 4

Vamos analisar os casos:
  1. Se :
    Substituindo na segunda equação:
    Então, temos o ponto crítico .
  2. Se :
    Substituindo na segunda equação:
    Novamente, o ponto crítico é .

Passo 5

Agora, vamos calcular o valor da função no ponto crítico encontrado:

Passo 6

Além dos pontos críticos internos, precisamos verificar os valores da função na fronteira do disco, ou seja, no círculo . Para isso, podemos usar o método de parametrização. Vamos parametrizar o círculo usando :
onde varia de a .

Passo 7

Substituindo e na função:

Passo 8

Vamos simplificar a expressão usando identidades trigonométricas:
Sabemos que , então:

Passo 9

Para encontrar os extremos nessa expressão, derivamos em relação a e igualamos a zero:
Então, temos duas possibilidades:

Passo 10

Resolvendo cada caso:
  1. Se :
    Calculando nesses pontos:
  2. Se :
    Resolvemos a equação quadrática para :
    Usando a fórmula de Bhaskara:
    Assim:
    Já vimos que já foi considerada.
    Para , calculamos :

Passo 11

Agora, resumindo os valores encontrados:
  • Ponto interno :
  • Ponto na fronteira e :
  • Ponto na fronteira :

Resposta

O valor máximo absoluto da função é aproximadamente e o valor mínimo absoluto é no disco unitário.

Exercícios relacionados

Determine as derivadas parciais indicadas.
.
Considere a função dada por
Determine o maior conjunto de pontos para os quais é contínua. Justifique.
Determine as derivadas parciais indicadas.
(f) .
Marque os pontos cujas coordenadas polares são dadas. A seguir, encontre dois outros pares de coordenadas polares desse ponto, um com e o outro com .
(a)