Considere a função
dada por
(a) Qual o domínio de
?
(a) Qual o domínio de
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem uma função de duas variáveis,
, definida de forma diferente dependendo de onde estamos no plano:
O que a questão quer é saber qual é o domínio dessa função, ou seja, todos os pares
para os quais a função está bem definida. Para isso, vamos precisar entender onde a função pode ter problemas, tipo divisões por zero ou indefinições.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a parte da função que é uma fração:
Aqui, o denominador é
. Sabemos que uma divisão só dá problema quando o denominador é zero, porque não podemos dividir por zero. Então, precisamos descobrir onde
.
Passo 3
Vamos resolver
. Essa equação só é verdadeira quando ambos
e
são zero, porque qualquer número ao quadrado é positivo ou zero. Então, a única solução é
.
Isso significa que a fração está bem definida para todos os pontos
exceto quando
.
Passo 4
Agora, olha só a definição da função:
- Para
, a função está definida pela fração, que vimos que está ok nesses pontos. - Para
, a função está definida como , então também está bem definida lá.
Portanto, não há pontos onde a função não está definida, porque mesmo no ponto
a gente dá um valor específico para a função.
Resposta
O domínio da função
é todo o plano
, ou seja, todos os pares
reais.
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.
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? Justifique.
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