Considere a função dada por
(a) Qual o domínio de ?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem uma função de duas variáveis, , definida de forma diferente dependendo de onde estamos no plano:
O que a questão quer é saber qual é o domínio dessa função, ou seja, todos os pares para os quais a função está bem definida. Para isso, vamos precisar entender onde a função pode ter problemas, tipo divisões por zero ou indefinições.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a parte da função que é uma fração:
Aqui, o denominador é . Sabemos que uma divisão só dá problema quando o denominador é zero, porque não podemos dividir por zero. Então, precisamos descobrir onde .

Passo 3

Vamos resolver . Essa equação só é verdadeira quando ambos e são zero, porque qualquer número ao quadrado é positivo ou zero. Então, a única solução é .
Isso significa que a fração está bem definida para todos os pontos exceto quando .

Passo 4

Agora, olha só a definição da função:
  • Para , a função está definida pela fração, que vimos que está ok nesses pontos.
  • Para , a função está definida como , então também está bem definida lá.
Portanto, não há pontos onde a função não está definida, porque mesmo no ponto a gente dá um valor específico para a função.

Resposta

O domínio da função é todo o plano , ou seja, todos os pares reais.
í

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