Considere a função f(x, y) dada por f(x, y)=lx^3-y^3x^2+y^2 se (x, y) neq(0,0) 0 se (x, y)=(0,0)
(a) Qual o domínio de f ?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem uma função de duas variáveis, f(x, y) = x^3 - y^3x^2 + y^2 & se (x, y) neq (0,0) 0 & se (x, y) = (0,0) , definida de forma diferente dependendo de onde estamos no plano:
O que a questão quer é saber qual é o domínio dessa função, ou seja, todos os pares para os quais a função está bem definida. Para isso, vamos precisar entender onde a função pode ter problemas, tipo divisões por zero ou indefinições.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a parte da função que é uma fração:
x^3 - y^3x^2 + y^2
Aqui, o denominador é . Sabemos que uma divisão só dá problema quando o denominador é zero, porque não podemos dividir por zero. Então, precisamos descobrir onde .

Passo 3

Vamos resolver . Essa equação só é verdadeira quando ambos e são zero, porque qualquer número ao quadrado é positivo ou zero. Então, a única solução é .
Isso significa que a fração está bem definida para todos os pontos exceto quando .

Passo 4

Agora, olha só a definição da função:
  • Para , a função está definida pela fração, que vimos que está ok nesses pontos.
  • Para , a função está definida como , então também está bem definida lá.
Portanto, não há pontos onde a função não está definida, porque mesmo no ponto a gente dá um valor específico para a função.

Resposta

O domínio da função Domínio de f = R^2 é todo o plano , ou seja, todos os pares reais.
í

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