Use a fórmula da adição para cosseno e as identidades
cos(pi/2 - theta) = sen(theta), sen(pi/2 - theta) = cos(theta)
para demonstrar a fórmula da subtração para a função seno.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas identidades trigonométricas:
E queremos usar a fórmula da adição para o cosseno junto com essas identidades para demonstrar a fórmula da subtração para o seno. Para isso, vamos precisar lembrar dessas fórmulas e entender como aplicá-las passo a passo.

Passo 2

Vamos começar lembrando qual é a fórmula da adição para o cosseno. Ela é dada por:
Essa fórmula nos permite expandir o cosseno da soma de dois ângulos e .

Passo 3

Agora, queremos provar a fórmula da subtração para o seno, que é:
Para isso, vamos relacionar essa expressão com a fórmula da adição que acabamos de lembrar.

Passo 4

Observamos que:
Isso significa que a subtração pode ser vista como a adição de com . Assim, podemos aplicar a fórmula da adição substituindo por .

Passo 5

Aplicando a fórmula da adição para o cosseno na expressão , temos:
De acordo com a identidade dada:
Então, podemos escrever:

Passo 6

Agora, vamos aplicar a fórmula da adição para o cosseno na expressão :

Passo 7

Utilizando as identidades iniciais:
Substituímos na expressão anterior:

Passo 8

Portanto, temos que:

Resposta

A fórmula da subtração para o seno é:

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