Use a fórmula da adição para cosseno e as identidades
para demonstrar a fórmula da subtração para a função seno.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas identidades trigonométricas:
E queremos usar a fórmula da adição para o cosseno junto com essas identidades para demonstrar a fórmula da subtração para o seno. Para isso, vamos precisar lembrar dessas fórmulas e entender como aplicá-las passo a passo.
Passo 2
Vamos começar lembrando qual é a fórmula da adição para o cosseno. Ela é dada por:
Essa fórmula nos permite expandir o cosseno da soma de dois ângulos
e
.
Passo 3
Agora, queremos provar a fórmula da subtração para o seno, que é:
Para isso, vamos relacionar essa expressão com a fórmula da adição que acabamos de lembrar.
Passo 4
Observamos que:
Isso significa que a subtração
pode ser vista como a adição de
com
. Assim, podemos aplicar a fórmula da adição substituindo
por
.
Passo 5
Aplicando a fórmula da adição para o cosseno na expressão
, temos:
De acordo com a identidade dada:
Então, podemos escrever:
Passo 6
Agora, vamos aplicar a fórmula da adição para o cosseno na expressão
:
Passo 7
Utilizando as identidades iniciais:
Substituímos na expressão anterior:
Passo 8
Portanto, temos que:
Resposta
A fórmula da subtração para o seno é: