Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
.
3
Determine o maior conjunto no qual a função é contínua.
(a)
.
3
Determine o maior conjunto no qual a função é contínua.
(a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer aqui é determinar o limite da função
quando o ponto
se aproxima de
. Isso faz parte do estudo de limites em funções de várias variáveis. Para resolver, vamos verificar como a função se comporta ao nos aproximarmos de
por diferentes caminhos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa calcular o limite de uma função de duas variáveis. Diferente de funções de uma variável, aqui temos que considerar todos os caminhos possíveis pelos quais
pode se aproximar de
. Se o limite for o mesmo por todos esses caminhos, ele existe; se não, o limite não existe.
Passo 3
Vamos começar analisando o caminho onde
. Substituindo
por 0 na função, temos:
Então, quando nos aproximamos de
pelo caminho
, o limite é 1.
Passo 4
Agora, vamos considerar o caminho onde
. Substituindo
por 0 na função, temos:
Assim, ao nos aproximarmos de
pelo caminho
, o limite é 0.
Passo 5
Perceba que ao nos aproximarmos pelo caminho
, o limite foi 1, e pelo caminho
, o limite foi 0. Como os limites dependem do caminho escolhido e não são iguais, concluímos que o limite da função
quando
tende a
não existe.
Resposta
O limite
não existe porque valores diferentes são obtidos ao se aproximar por caminhos distintos.