Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
lim (x, y) (0,0) y^5x^2+y^5.
3
Determine o maior conjunto no qual a função é contínua.
(a) f(x, y)=x y1+e^x-y.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer aqui é determinar o limite da função quando o ponto se aproxima de . Isso faz parte do estudo de limites em funções de várias variáveis. Para resolver, vamos verificar como a função se comporta ao nos aproximarmos de por diferentes caminhos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa calcular o limite de uma função de duas variáveis. Diferente de funções de uma variável, aqui temos que considerar todos os caminhos possíveis pelos quais pode se aproximar de . Se o limite for o mesmo por todos esses caminhos, ele existe; se não, o limite não existe.

Passo 3

Vamos começar analisando o caminho onde y^50^2 + y^5 = y^5y^5 = 1 . Substituindo por 0 na função, temos:
Então, quando nos aproximamos de pelo caminho , o limite é 1.

Passo 4

Agora, vamos considerar o caminho onde 0^5x^2 + 0^5 = 0x^2 = 0 . Substituindo por 0 na função, temos:
Assim, ao nos aproximarmos de pelo caminho , o limite é 0.

Passo 5

Perceba que ao nos aproximarmos pelo caminho , o limite foi 1, e pelo caminho , o limite foi 0. Como os limites dependem do caminho escolhido e não são iguais, concluímos que o limite da função quando tende a não existe.

Resposta

O limite não existe porque valores diferentes são obtidos ao se aproximar por caminhos distintos.

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