Considere a função dada por
Mostre que não é diferenciável no .

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão tá pedindo. A gente tem uma função de duas variáveis, , que é definida de forma diferente dependendo se o ponto é ou não o ponto . A missão aqui é mostrar que essa função não é diferenciável em . Para isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser diferenciável e verificar se essa condição se mantém no ponto dado.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa uma função ser diferenciável em um ponto. Basicamente, uma função de duas variáveis é diferenciável em um ponto se ela pode ser bem aproximada por um plano tangente nesse ponto. Isso envolve calcular as derivadas parciais em relação a e e verificar se a aproximação linear realmente funciona.

Passo 3

Vamos começar calculando as derivadas parciais de em . As derivadas parciais são:
Vamos calcular cada uma delas.

Passo 4

Calculando :
Então, .

Passo 5

Agora, calculando :
Portanto, .

Passo 6

Agora que temos as derivadas parciais, vamos supor que a função seja diferenciável em . Nesse caso, a aproximação linear seria:

Passo 7

Para que a função seja diferenciável, o limite da diferença entre e a aproximação linear, dividido pela distância ao ponto , deve ser zero quando . Ou seja:
Vamos verificar esse limite.

Passo 8

Substituindo na expressão do limite:
Parece que o limite dá zero, o que indicaria que a função é diferenciável. Mas, vamos testar por diferentes caminhos para confirmar.

Passo 9

Vamos tentar pelo caminho . Substituindo na função:
A aproximação linear seria . Então,
Agora, pelo caminho :
A aproximação linear seria . Então,
Esse limite não é zero, o que significa que a aproximação linear não funciona de forma consistente em todos os caminhos.

Resposta

Portanto, a função não é diferenciável no ponto .

Exercícios relacionados

Esboce a região no plano que consiste em pontos cujas coordenadas polares satisfazem as condições dadas.
Explique com suas palavras o significado das equações abaixo e responda aos questionamentos.
(b) e . É possível que exista? Explique.
Explique com suas palavras o significado das equações abaixo e responda aos questionamentos.
© Se , o que podemos afirmar sobre e ?
Calcule o valor dos limites usando as propriedades do limite.
(a)