Considere a função
dada por
Mostre que
não é diferenciável no
.
Mostre que
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão tá pedindo. A gente tem uma função de duas variáveis,
, que é definida de forma diferente dependendo se o ponto
é ou não o ponto
. A missão aqui é mostrar que essa função não é diferenciável em
. Para isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser diferenciável e verificar se essa condição se mantém no ponto dado.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que significa uma função ser diferenciável em um ponto. Basicamente, uma função de duas variáveis é diferenciável em um ponto se ela pode ser bem aproximada por um plano tangente nesse ponto. Isso envolve calcular as derivadas parciais em relação a
e
e verificar se a aproximação linear realmente funciona.
Passo 3
Vamos começar calculando as derivadas parciais de
em
. As derivadas parciais são:
Vamos calcular cada uma delas.
Passo 4
Calculando
:
Então,
.
Passo 5
Agora, calculando
:
Portanto,
.
Passo 6
Agora que temos as derivadas parciais, vamos supor que a função seja diferenciável em
. Nesse caso, a aproximação linear seria:
Passo 7
Para que a função seja diferenciável, o limite da diferença entre
e a aproximação linear, dividido pela distância ao ponto
, deve ser zero quando
. Ou seja:
Vamos verificar esse limite.
Passo 8
Substituindo
na expressão do limite:
Parece que o limite dá zero, o que indicaria que a função é diferenciável. Mas, vamos testar por diferentes caminhos para confirmar.
Passo 9
Vamos tentar pelo caminho
. Substituindo na função:
A aproximação linear seria
. Então,
Agora, pelo caminho
:
A aproximação linear seria
. Então,
Esse limite não é zero, o que significa que a aproximação linear não funciona de forma consistente em todos os caminhos.
Resposta
Portanto, a função
não é diferenciável no ponto
.
Exercícios relacionados
Esboce a região no plano que consiste em pontos cujas coordenadas polares satisfazem as condições dadas.
Explique com suas palavras o significado das equações abaixo e responda aos questionamentos.
(b) e
. É possível que
exista? Explique.
(b)
Explique com suas palavras o significado das equações abaixo e responda aos questionamentos.
© Se , o que podemos afirmar sobre
e
?
© Se
Calcule o valor dos limites usando as propriedades do limite.
(a)
(a)