Considere a função f(x, y) dada por f(x, y)=lx^3-y^3x^2+y^2 se (x, y) neq(0,0) 0 se (x, y)=(0,0)
Mostre que f não é diferenciável no (0,0).

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão tá pedindo. A gente tem uma função de duas variáveis, f(x, y), que é definida de forma diferente dependendo se o ponto (x, y) é ou não o ponto (0,0). A missão aqui é mostrar que essa função não é diferenciável em (0,0). Para isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser diferenciável e verificar se essa condição se mantém no ponto dado.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa uma função ser diferenciável em um ponto. Basicamente, uma função de duas variáveis é diferenciável em um ponto se ela pode ser bem aproximada por um plano tangente nesse ponto. Isso envolve calcular as derivadas parciais em relação a x e y e verificar se a aproximação linear realmente funciona.

Passo 3

Vamos começar calculando as derivadas parciais de f em (0,0). As derivadas parciais são:
fx(0,0) = limh to 0 f(h, 0) - f(0,0)h
fy(0,0) = limk to 0 f(0, k) - f(0,0)k
Vamos calcular cada uma delas.

Passo 4

Calculando fx(0,0):
fx(0,0) = limh to 0 f(h, 0) - 0h = limh to 0 h^3 - 0h^2 + 0h = limh to 0 h^3h^3 = 1
Então, fx(0,0) = 1.

Passo 5

Agora, calculando fy(0,0):
fy(0,0) = limk to 0 f(0, k) - 0k = limk to 0 0 - k^30 + k^2k = limk to 0 -k^3k^3 = -1
Portanto, fy(0,0) = -1.

Passo 6

Agora que temos as derivadas parciais, vamos supor que a função seja diferenciável em (0,0). Nesse caso, a aproximação linear seria:
L(x, y) = f(0,0) + fx(0,0) cdot x + fy(0,0) cdot y = 0 + 1 cdot x -1 cdot y = x - y

Passo 7

Para que a função seja diferenciável, o limite da diferença entre f(x, y) e a aproximação linear, dividido pela distância ao ponto (0,0), deve ser zero quando (x, y) to (0,0). Ou seja:
lim(x,y) to (0,0) f(x, y) - (x - y)raizx^2 + y^2 = 0
Vamos verificar esse limite.

Passo 8

Substituindo f(x, y) na expressão do limite:
Parece que o limite dá zero, o que indicaria que a função é diferenciável. Mas, vamos testar por diferentes caminhos para confirmar.

Passo 9

Vamos tentar pelo caminho y = x. Substituindo na função:
f(x, x) = x^3 - x^3x^2 + x^2 = 02x^2 = 0
A aproximação linear seria L(x, x) = x - x = 0. Então,
f(x, x) - L(x, x)raizx^2 + x^2 = 0 - 0raiz2x = 0
Agora, pelo caminho y = -x:
f(x, -x) = x^3 - (-x)^3x^2 + x^2 = x^3 + x^32x^2 = 2x^32x^2 = x
A aproximação linear seria L(x, -x) = x - (-x) = 2x. Então,
f(x, -x) - L(x, -x)raizx^2 + x^2 = x - 2xraiz2x = -xraiz2x = -1raiz2
Esse limite não é zero, o que significa que a aproximação linear não funciona de forma consistente em todos os caminhos.

Resposta

Portanto, a função f não é diferenciável no ponto (0,0).

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