Considere a função f: R^2 -> R dada por
f(x, y) = { (x * y^3) / (x^2 + y^2) se (x, y) ≠ (0, 0) ; 0 se (x, y) = (0, 0) }
Mostre que f_xy(0,0) ≠ f_yx(0,0).

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício pede. A gente tem uma função de duas variáveis, , definida de um jeito diferente quando é igual a ou não. A matéria aqui é cálculo diferencial, focando em derivadas parciais de segunda ordem. A gente vai precisar calcular as derivadas cruzadas e e mostrar que elas não são iguais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular uma derivada parcial. A derivada parcial de em relação a é como se a gente derivasse pensando que é uma constante, e vice-versa para a derivada em relação a .

Passo 3

Vamos começar calculando , que é a derivada de em relação a . Para , temos:
Vamos derivar isso em relação a . Vamos usar a regra do quociente:

Passo 4

Agora, precisamos calcular , que é a derivada de em relação a no ponto . Para isso, usamos a definição de derivada parcial:
Sabemos que , então . Vamos calcular :
Então:

Passo 5

Agora, vamos calcular , que é a derivada de em relação a . Novamente, para :
Derivando em relação a :

Passo 6

Agora, vamos calcular , que é a derivada de em relação a no ponto . Usando a definição:
Sabemos que . Vamos calcular :
Então:

Resposta

Então, vimos que e . Portanto, .

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