Considere a função
dada por
Mostre que
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício pede. A gente tem uma função de duas variáveis,
, definida de um jeito diferente quando
é igual a
ou não. A matéria aqui é cálculo diferencial, focando em derivadas parciais de segunda ordem. A gente vai precisar calcular as derivadas cruzadas
e
e mostrar que elas não são iguais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular uma derivada parcial. A derivada parcial de
em relação a
é como se a gente derivasse
pensando que
é uma constante, e vice-versa para a derivada em relação a
.
Passo 3
Vamos começar calculando
, que é a derivada de
em relação a
. Para
, temos:
Vamos derivar isso em relação a
. Vamos usar a regra do quociente:
Passo 4
Agora, precisamos calcular
, que é a derivada de
em relação a
no ponto
. Para isso, usamos a definição de derivada parcial:
Sabemos que
, então
. Vamos calcular
:
Então:
Passo 5
Agora, vamos calcular
, que é a derivada de
em relação a
. Novamente, para
:
Derivando em relação a
:
Passo 6
Agora, vamos calcular
, que é a derivada de
em relação a
no ponto
. Usando a definição:
Sabemos que
. Vamos calcular
:
Então:
Resposta
Então, vimos que
e
. Portanto,
.