Considere a função dada por
Mostre que .

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício pede. A gente tem uma função de duas variáveis, , definida de um jeito diferente quando é igual a ou não. A matéria aqui é cálculo diferencial, focando em derivadas parciais de segunda ordem. A gente vai precisar calcular as derivadas cruzadas e e mostrar que elas não são iguais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular uma derivada parcial. A derivada parcial de em relação a é como se a gente derivasse pensando que é uma constante, e vice-versa para a derivada em relação a .

Passo 3

Vamos começar calculando , que é a derivada de em relação a . Para , temos:
Vamos derivar isso em relação a . Vamos usar a regra do quociente:

Passo 4

Agora, precisamos calcular , que é a derivada de em relação a no ponto . Para isso, usamos a definição de derivada parcial:
Sabemos que , então . Vamos calcular :
Então:

Passo 5

Agora, vamos calcular , que é a derivada de em relação a . Novamente, para :
Derivando em relação a :

Passo 6

Agora, vamos calcular , que é a derivada de em relação a no ponto . Usando a definição:
Sabemos que . Vamos calcular :
Então:

Resposta

Então, vimos que e . Portanto, .

Exercícios relacionados

Verifique se existe (m) ponto(s) na esfera tal que o plano tangente a neste(s) ponto(s) seja paralelo ao plano . Caso exista(m), determine-o(s).
Use a regra do quociente para calcular a derivada de
Determine a equação da reta tangente ao gráfico da função no ponto indicado:
(a) em
(b) em
© em
Verifique se a função dada por , onde e , é diferenciável em .
Dica: Encontre, por definição, .